二分+线性dp模板题：洛谷《合唱队形》的python题解

题目描述

n 位同学站成一排，音乐老师要请其中的 n−k 位同学出列，使得剩下的 k 位同学排成合唱队形。

合唱队形是指这样的一种队形：设 k 位同学从左到右依次编号为 1,2, … ,k，他们的身高分别为 t1​,t2​, … ,tk​，则他们的身高满足 t1​<⋯<ti​>ti+1​> … >tk​(1≤i≤k)。

你的任务是，已知所有 n 位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

输入格式

共二行。

第一行是一个整数 n（≤n≤100），表示同学的总数。

第二行有 n 个整数，用空格分隔，第 i 个整数 ti​（130≤ti​≤230）是第 i 位同学的身高（厘米）。

输出格式

一个整数，最少需要几位同学出列。

输入输出样例

输入 

8
186 186 150 200 160 130 197 220

输出

4

说明/提示

对于 50% 的数据，保证有 n≤20。

对于全部的数据，保证有 n≤100。

前置知识：线性dp，最长上升子序列的nlogn优化，二分查找（和洛谷的导弹拦截都是这类题型的模板题

分析：

1. 最少几个同学出列，其实就是求解最多几个同学能组成满足条件的序列
2. 根据题意这个序列可以是一部分（完全严格上升或严格下降子序列）也可以是两部分（前面严格上升后面严格下降）
3. 我们可以用ans1存上升部分的长度（ans1[i]表示到第i个数能形成的最长上升序列的长度，ans2类似），up存上升序列，ans2存下降部分，down存下降部分
4. 两个ans都是在序列能变长时等于前面一个ans+1，不能变长就等于前面一个ans
5. 最后将ans1和ans2打包求和就行

上AC代码

def check(l, obj, key):  # 这个列表是从一个开始生成的，所以不能用bisect函数来简单书写。多传入参数是为了加快python的查找速度
    """不相等时要右边那一位"""
    i, j = 0, l-1
    while i < j:
        m = i+j >> 1
        if obj[m] == key:  # 严格上升子序列里相等不用进行任何操作
            return m
        elif obj[m] > key:
            j = m
        else:
            i = m+1
    return i


n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))
up = [a[0]]
down = [a[-1]]
ans1 = [1]*n
ans2 = [1]*n
for i in range(1, n):
    if a[i] > up[-1]:
        ans1[i] = ans1[i-1]+1
        up.append(a[i])
    else:
        ans1[i] = ans1[i-1]
        up[check(ans1[i], up, a[i])] = a[i]
    if a[n-1-i] > down[-1]:  # 倒着取少写一个二分，即都是求严格上升子序列了
        ans2[n-1-i] = ans2[n-i]+1
        down.append(a[n-1-i])
    else:
        ans2[n-1-i] = ans2[n-i]
        down[check(ans2[n-1-i], down, a[n-1-i])] = a[n-1-i]
print(n-max([i+j-1 for i, j in zip(ans1, ans2)]))

最后

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