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第2章 解线性代数方程组的迭代法 数值分析与各种算法的matlab代码

最速下降法的迭代格式为： * 2.5.3 共轭梯度法 按照最速下降法从 出发得到新的近似 ，是直线 被椭球面的 中点,而且有 所以具体的基本步骤是：在点 处选取新的搜索方向 ， 使其与前一次的搜索方向 关于A共轭，即 然后从点 出发，在直线上 ，沿方向 求得H(x) 的极小点 * 由此得到方程组Ax=b的近似解序列 共轭梯度法的计算过程如下： * 2.5.4 共轭梯度法的收敛性 P55 页 P55 页例2.3 * 2.6 条件数与病态方程组 2.6.1 矩阵的条件数 P 56 例2.4 * * 第2章 解线性代数方程组的迭代法 求解线性代数方程组主要有直接法和迭代法两种常见方法。直接法一般适合小型的系数矩阵，为了求解现实当中常见的大型稀疏矩阵，下面我们将重点介绍迭代法。它是一种不断套用一个迭代公式，逐步逼近方程的解的方法。 将讨论两类主要方法,一类是逐步逼近法，另一类是下降法，包括最速下降法和共轭梯度法 2.1 向量、矩阵范数与谱半径 2.1.1 向量的范数 定义2.1：设 ，(或 )， 为 的实值函数，若 它满足下列条件 ： (1)非负性： (2) 齐次性 (3) 三角不等式 则称 则称 则称 为 上的一个向量范数， 的值称为向量x的范数、 * * 收敛于向量 的充要条件是 * 2.1.2 矩阵的范数 2.1.1 向量的范数 定义2.3：设 ，(或 )， 为 的实值函数，若 它满足下列条件 ： (1)非负性： (2) 齐次性 (3) 三角不等式 则称 则称 则称 为 上的一个向量范数， 的值称为矩阵A的范数、 * 相容范数 定理2.1 由(2.1.15)式所定义的矩阵范数为相容范数 * 定理2.2 由(2.1.15)式所定义的矩阵范数为相容范数，下列等式成立 * 2.1.3 谱半径 定理2.3 对任意 ，有 * 2.2 迭代法的一般形式与收敛性定理 2..2.1 迭代法的一般形式 已知线性代数方程组 首先将方程组(2.2.1)式改写成等价的形式 从而建立迭代式： 称 为迭代序列，并称H为迭代矩阵。当给定初始向量 后 可得到迭代向量序列 ，若 * 则 是线性方程组Ax=b的解 引理2.1：迭代法(2.2.3)式对任何初始近似 均收敛的充分必要条件是 引理2.2： 的充分必要条件是H的谱半径 * 2.2.3 迭代法的收敛速度 定理2.5 当 时，由迭代法(2.2.3)式所定义的序列 满足如下估计式： * * 2.3 Jacabi方法与Gauss－Seidel方法 2.3.1 Jacabi方法 设A=D-L-U, 则 即迭代格式为 也可改写为 迭代矩阵为 * 分量形式为 * 2.3.2 Gauss－Seidel方法 在用简单迭代法计算第i个新分量 时，前i-1个均已求出 一般来说，后算出来的值为更好的近似，因此可以用这些新值来计算 利用最新值进行计算的方法称为Seidel迭代法 对Jacabi迭代法运用Seidel技巧得到 * 其矩阵形式为 整理成一般迭代法的形式为 例题：P43 例2.1 * 2.3.3 对角占优矩阵与不可约矩阵 * * * * * 2.4 松弛法 用 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解线性代数方程组时，有时收敛速度很慢，因此引入松弛法，只要松弛因子选取适当，算出的近似值就会更快地接近方程组的解，从而达到加快收敛的目的。 * 2.4.1 Richardson 迭代 * * 2.4.2 Jacobi松弛法 * * 2.4.3 SOR方法 对Gauss-Seidel方法引入参数,得到迭代格式 称(2.4.6)为解方程组Ax=b的超松弛方法,简记为SOR方法,矩阵形式为: