目录

2 逻辑代数基础

2.1 概述

2.1.1 逻辑代数

2.1.2 逻辑体制

2.2 逻辑代数中的常用运算

2.2.1 三种基本逻辑运算

 2.2.2 复合逻辑运算

2.3 逻辑代数的基本定律和常用公式

2.3.1 逻辑代数的基本定律

 2.3.2 逻辑代数中常用的公式

 2.3.3 三个重要规则

2.4 逻辑函数及其表示方法

2.4.1 逻辑函数

 2.5 逻辑函数的公式化简法

2.5.1 逻辑函数的最简表达式

2.5.2 逻辑函数公式化简法

2.6 逻辑函数的卡诺图化简法

2.6.1 用卡诺图表示逻辑函数

 2.6.2 用卡诺图化简逻辑函数

2.6.3 用卡诺图化简具有无关项的逻辑函数

 2.7 本章小结

2 逻辑代数基础

2.1 概述

2.1.1 逻辑代数

用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数或开关代数。

逻辑代数所表示的是逻辑关系，而不是数量关系，这是于普通代数的本质区别。

逻辑代数中的1和0不表示数量大小，仅表示两种相反的状态。

2.1.2 逻辑体制

正逻辑体制：规定高电平为逻辑1，低电平为逻辑0

负逻辑体制则反之，通常未加说明，则为正逻辑体制。

2.2 逻辑代数中的常用运算

2.2.1 三种基本逻辑运算

与逻辑：当影响事件的条件都满足时，事件才会发生。

所有变量都为 1 时函数值为 1 。

实现与运算的单元电路称为：与门

与门特性：有0出0，全1出1。

 或逻辑：当影响某事件的条件之一具备时，该事件就发生。

只要有一个变量为1，函数值为1。

实现与运算的单元电路称为：或门

或门特性：有1出1，全0出0。

 非逻辑：表示否定或事件结果与条件相反。

 实现非运算的单元电路称为：非门或反相器。

非门特性：输出与输入电平相反。

 2.2.2 复合逻辑运算

与非运算

符号

与非门特性：有0出1，全1出0。

 或非运算

符号

 或非门特性：有1出0，全0出1。

与或非运算

符号

 与或非门特性：一步一步推导，类似加减乘除的顺序来运算。

异或运算——二变量逻辑运算

两个变量值相异时函数值为1，两个变量值相同时函数值为0。

符号 

 同或运算——异或非运算

两个变量值相异时函数值为0，两变量值相同时函数值为1。

 常用逻辑门符号及特性对照

2.3 逻辑代数的基本定律和常用公式

2.3.1 逻辑代数的基本定律

 2.3.2 逻辑代数中常用的公式

 2.3.3 三个重要规则

一 代入规则——可扩大基本定律的应用

当逻辑等式中两边的某变量用相同的逻辑函数代替时，等式仍成立。

二 反演规则——快速求某函数的反函数

将函数式中的单个变量取反、常量（0、1）取反、“与”、“或”运算符对换（非运算保持），原运算顺序不变，得该逻辑函数的反函数。

三 对偶规则——主要用于证明逻辑恒等式

当两个函数相等时，它们各自的对偶函数也相等，将函数式Y中的0、1对换；与、或运算符对换，保持运算顺序不变，即得原函数的对偶式Y′。

2.4 逻辑函数及其表示方法

2.4.1 逻辑函数

逻辑函数的建立：

用数学的方式来描述某一逻辑事件于其条件间的因果关系。

方法：找到输入变量和输出函数，对他们的取值作出逻辑规定，最后将逻辑关系表示出来，建立逻辑函数时必须确定所需要的函数变量和函数输出的个数，以及变量取值0，1代表的定义。

 逻辑函数的表示方法：

2.逻辑函数式：以代数式的形式用逻辑运算符综合逻辑变量表示逻辑函数。

3.逻辑图：以电路图的形式用逻辑图形符号的连接关系表示逻辑函数。

4.波形图：  以输入、输出信号波形在时间上的对应关系表示元件的逻辑功能。

5.卡诺图：真值表的方格图形式，图中几何相邻的格逻辑相邻。

6.硬件描述语言： 以类似计算机软件编程语言的形式描述事件的逻辑关系，常用的有VHDL和Verilog HDL语言。

2.4.2 逻辑函数的两种标准形式

一 最小项和最小项表达式

1.最小项定义：将变量取值组合用逻辑变量“与项”的形式表现出来，取值0写反变量，取值1写原变量，构成一个与项。最小项永远最求1。

 2.最小项编号

最小项可以用简记符号表示，以方便书写。下标序号i=0～2n-1，是对应变 量取值组合的等效十进制数。

 使用最小项简记符时应说明变量在最小项中的排序。

 3.最小项表达式——标准与或式

 对于变量的任一组取值，只有一个最小项的值为1，所有最小项之和为1，最小项表达式是唯一的，由真值表写出的表达式为最小项表达式。

 一般与或式标准与或式

 二 最大项和最大项表达式

变量数相同时，相同编号的最小项和最大项互为反函数

 2.5 逻辑函数的公式化简法

2.5.1 逻辑函数的最简表达式

一 化简逻辑函数的意义

由真值表直接写出的最小项逻辑式基由此画出的逻辑图，一般比较复杂。

 二 逻辑函数的最简与或式

工程化简要求：

逻辑表达式最简（器件最少，速度最快）

或者逻辑运算关系统一（器件型号统一）

最简与或式的标准：

2.乘积项中变量个数最少

2.5.2 逻辑函数公式化简法

利用逻辑代数的基本定律和常用公式消区逻辑函数中多余的乘积项和乘积项中的多余变量，使其成为最简与或式。

 1.并项法：利用并向，消变量。

 2.吸收法：利用吸收律和消去多余项。

3.消去法：利用消去多余的因子。

 4.配项法：利用乘项或加入零项进行配项，消去其他项的变量。

5.加项法：利用加相同项消去其他项。

 用“与非”门实现其他函数关系

2.6 逻辑函数的卡诺图化简法

 卡诺图化简分三步走

1.填写卡诺图

2.画合并圈

3.写表达式

2.6.1 用卡诺图表示逻辑函数

一 最小项卡诺图的组成

1.相邻最小项

两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。

两个相邻最小项相加可合并为一项，消去互反变量，化简为相同变量相与。

2.卡诺图的组成

卡诺图是最小项按一定规则排列成的方格图。

 卡诺图中的相邻项：同一行最左与最右方格相邻，同一列最上与最下方格相邻，相邻项在几何位置上也相邻。

二 用卡诺图表示逻辑函数

(1) 求逻辑函数真值表或者标准与-或式或者与-或式。  (2) 画出变量卡诺图。  (3) 根据真值表或者标准与-或式或者与-或式填图。

 2.6.2 用卡诺图化简逻辑函数

公式化简法

优点：对变量个数没有限制。缺点：需要技巧，不易判断是否为最简式。

卡诺图化简法

优点：简单，直观，有一定的步骤和方法，易判断结果为最简式。缺点：适合变量个数较少的情况。一般用于四变量及四变量以下函数的化简。

化简依据：用卡诺图化简逻辑函数式，其原理是合并相邻最小项，消去互反变量，以达到化简的目的。卡诺图提供了找出相邻最小项的便捷方法。

化简规律：2 个相邻最小项有 1 个互反变量，相加可以消去这 1 个变量，化简结果为相同变量的与； 4 个相邻最小项有 2 个互反变量，相加可以消去这 2 个变量，化简结果为相同变量的与； 8 个相邻最小项有 3 个互反变量，相加可以消去这 3 个变量，化简结果为相同变量的与； …… 2n 个相邻最小项有 n 个互反变量，相加可以消去这 n 个变量，化简结果为相同变量的与。

卡诺图化简步骤：

1.画函数卡诺图

2.对填1的相邻最小项方格画包围圈

3.将各圈分别化简

4.将各圈化简结果逻辑加

画包围圈原则：包围圈必须包含 2n 个相邻 1 方格。圈越大越好；圈越少越好；1 方格可重复圈，但必须每圈有新 1；每个 1 方格必须圈到，孤立 1 方格也不能漏掉。

2.6.3 用卡诺图化简具有无关项的逻辑函数

一 约束项，任意项和无关项

无关项是特殊的最小项，这种最小项所对应的变量取值组合或者不允许出现或者根本不会出现。

受到约束不会出现的最小项称为约束项；某些变量取值客观上不会出现，对于这些变量取值，逻辑函数是任意的，对应的这些最小项称为任意项。

约束项和任意项统称为无关项。

二 利用无关项化简逻辑函数

无关项的取值对逻辑函数值没有影响。合理利用无关项可使逻辑式更简单。化简时应需要将无关项方格看作1或0，使包围圈最少而且最大，从而使结果最简。无关项可以根据合并圈扩大的化简要求任意取值“0”或“1”，但不必全部圈入。

 2.7 本章小结

最后

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