目录

绘制根轨迹

带有极坐标网格线的根轨迹图

求根轨迹上任意点的增益值K

非最小相位系统的根轨迹图

 条件稳定系统的根轨迹图

 具有传输时延的系统的根轨迹

控制系统校正的根轨迹方法

本章介绍生成根轨迹图并从这些图形获得相关信息的MATLAB方法。

对于上述系统，它的闭环传递函数为

令右端的分母为0，得到系统的闭环特征方程，即：

多数情况下， 包含参数增益K，将其表示成零极点形式，则特征方程为

或者写成

 则有

即系统的根轨迹方程。

根据这两个式子确定系统的相角条件和幅值条件。

同时满足幅角条件和幅值条件的s值就是特征方程的根，或者说闭环极点。只满足幅角条件 的点在复平面上的轨迹是根轨迹。系统的根轨迹是闭环极点在增益K从0变化到无穷大时的轨迹。

绘制根轨迹

通常用来绘制根轨迹的MATLAB命令是

rlocus(num,den)

该命令在屏幕上绘制根轨迹图。增益K的值是自动确定的(向量K包含了为其计算闭环极点的所有增益值)。

对以状态空间形式定义的系统，rlocus(A, B. C, D)按照自动确定的增益向量来绘制该系统的根轨迹。

应注意的是，命令 

rlocus(num,den,K)和 rlocus(A,B,C,D,K) 可以采用用户提供的增益向量K来绘制根轨迹。

如果调用命令时带有左端参数，如

[r,K] = rlocus(num,den)

[r,K] = rlocus(num,den,K)

[r,K] = rlocus(A,B,C,D)

[r,K] = rlocus(A,B,C,D,K)

[r,K] = rlocus(sys)

那么屏幕上将会显示矩阵r和增益向量K( r的行数等于K的长度，列数为n,这里n是分母的次数。r包含根的位置，矩阵r的每一行对应于向量K中的一个增益。绘图命令

plot(r,'-')

可以绘制根轨迹。

最后要注意，由于增益向量是自动确定的，所以

的根轨迹图完全相同。对这3个系统而言，系统的num和den都是一样的。

已知系统如图所示。用正方形的平面形状来绘制根轨迹，使斜率为1的直线正好为.现将根轨迹的绘制区间选为

其中x和y分别是实轴坐标和虚轴坐标。

 新建脚本文件：

%a=s(s+1): b=s^2+4s+16
a=[1 1 0];
b=[1 4 16];
%conv(a,b)是给出两个多项式a和b的乘积
c=conv(a,b);
den=[1 5 20 16 0];
num=[1 3];
r=rlocus(num,den);
plot(r,'-');
%将给定的屏幕绘图设置成正方形
plot(r,'-');v=[-6 6 -6 6];axis(v);axis('square')
grid
title('Root-Locus Plot of G(s) = K(s+3)/[s(s + 0.5)(s^2+4s+16)]')
xlabel('Real Axis');ylabel('lmagAxis')
%可以做figure上手动标注出零极点位置
gtext('o')
gtext('x')
gtext('x')
gtext('x')
gtext('x')

已知系统结构为：

可以采用命令：

                                                 [num,den] = ss2tf(A,B,C,D) 

转换为上述形式求解。

同样，这个系统的根轨迹图可以利用MATLAB命令

rlocus(A,B,C,D)

来绘制。

带有极坐标网格线的根轨迹图

为了利用MATLAB在根轨迹图上绘制等直线轨迹和等圆轨迹，可以采用命令sgrid。

命令sgrid将等阻尼系数（ = 0 ~ 1,步长0. 1）的直线轨迹和等的圆轨迹重叠绘制在根轨迹图上。

>> v = [-3 3 -3 3]; axis(v); axis('square')
>> sgrid
>> title('Constant zeta Lines and Constant omega_n Circles')
>> xlabel('Real Axis1')
>> ylabel('Imag Axis')

得到图形：

 如果希望得到特定的的直线轨迹(如=0.5的直线和=0. 707的直线)及特定的殊的圆轨迹(如 =0.5的圆、=1的圆和 =2的圆)，可以采用如下命令：

>> sgrid([0.5, 0.707], [0.5, 1, 2]) 

 如果希望将等直线轨迹和等圆轨迹重叠到系统

num = [0 0 0 1]den = [1 4 5 0]

的根轨迹图上，只需要在原先绘制根轨迹代码的基础上加上代码

>> sgrid([0.5, 0.707], [0.5, 1, 2]) 

如果要删去全部等直线轨迹或全部等圆轨迹，就可以在命令sgrid的参数中采用空括号[]。如果只希望在根轨迹图上重叠与=0.5相应的等阻尼系数直线，而不需要等圆，就可以采用命令

sgrid(0.5,[])

求根轨迹上任意点的增益值K

求根轨迹上任意点的増益K。在闭环系统的MATLAB分析中，经常希望求根轨迹上任意 点的增益值K。这可以采用命令

[K,r] = rlocfind(num, den)或[K, r] = rlocfind(A,B,C,D)

之一来完成，其中r是闭环极点。命令rlocfind(必须在rlocus之后调用)将可移动的x-y坐标 系覆盖在屏幕上。使用鼠标将价x-y坐标系的原点置于根轨迹上希望的点并按鼠标键，MATLAB 就会显示该点的坐标、该点的增益值及与该增益值对应的闭环极点。

如果所选的点不在根轨迹上，那么命令rlocfind就给出该点的坐标、该点的增益值及与这个K 值相应的闭环极点位置。注意，s平面上的每个点都对应一个增益值。

>> num = [1];
>> den = [1 4 5 0];
>> r = rlocus(num,den);
>> plot(r,'-'); v = [-3 1 -2 2]; axis(v); axis('square')
>> grid
>> sgrid(0.5,[])
>> [K,r] = rlocfind(num,den)

非最小相位系统的根轨迹图

非最小相位系统。如果系统的所有极点和零点都位于左半S平面，该系统就称为最小相 位系统。如果系统至少有一个极点或零点位于右半S平面，该系统就称为非最小相位系统。 之所以要采用非最小相位系统这一术语，与该系统在正弦输入下的相移特性有关。

 如果T = 1 s, Ta=0.5 s,那么就可以在程序中输入如下

num = [-0.5 1];
den = [1 1 0];
K1 =0:0.01:30;
K2 =30:1:100;
K3 = 100:5:500;
K = [K1 K2 K3];
r = rlocus(num,den,K);
plot(r); v = [-2 6 -4 4]; axis(v); axis('square')
grid
title('Root-Locus Plot of G(s) = K(1-0.5s)/[s(s+1)]')
xlabel('Real Axis'); ylabel('Imag Axis');

 条件稳定系统的根轨迹图

绘制方法同上，利用劳斯判据判断条件稳定条件。

 具有传输时延的系统的根轨迹

死时间的MATLAB近似。

为了处理死时间，MATLAB采用以法国数学家Henri EugfenePad&命名的帕代近似。例如，如果T = 0.1 s,采用三阶传递函数来近似则可以在计算机 中输入如下MATLAB程序：

>> [num,den] = pade(0.1,3);
printsys(num, den, 's')
num/den =
-1 s^3 + 120 s^2 - 6000 s + 120000
----------------------------------
s^3 + 120 s^2 + 6000 s + 120000

类似地，当T = 0.1s时，四阶传递函数近似的程序是

[num,den] = pade(0.1, 4);
printsys(numz den, 's')

控制系统校正的根轨迹方法

控制系统的基本设计方面主要是用解析手段完成的，只有少部分可以采用MATLAB进行。 但是，系统设计一旦完成，就必须仔细检査数学模型的响应特性。MATLAB在这方面会起重要作用。  

 采用根轨迹方法的串联校正技术(如超前校正、滞后校正和超前滞后校正)，以及采用根 轨迹方法的并联校正技术。

我是小韩每天进步一点点，一名研0的研究生，刚开始写博客。希望和大家多多交流，一起进步！

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最后

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