时间复杂度与空间复杂度

本文章是基于极客时间王争老师写的<<数据结构与算法之美>>专栏的总结。

为什么需要复杂度分析

1. 如果是先写代码, 然后通过统计、监控工具，得到算法执行的时间和占用的内存大小, 这种叫事后统计。这种统计方法有非常大的局限性。

2. 测试结果非常依赖测试环境. 测试环境性能好, 统计的的执行时间会快些.

3. 测试结果受数据规模的影响很大. 有些算法数据规模大时效率反而快; 而有些算法在数据规模大时效率急剧下降; 有些算法在数据规模小时, 其执行效率反而不见得快.

复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系，可以粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)->O(logn)->O(n)->O(nlogn)->O(n2)。

什么是时间复杂度

代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度. 采用大 O 表示复杂度, 注意, 这种方法表示方法只是表示一种变化趋势。

时间复杂度的分析方法

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码

   1). 通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。
   2). 我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。

2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

如果一个程序中有两段代码, 时间复杂度分别为T1(n), T2(n), 那么这个程序的时间复杂度为T(n), 具体如下

T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；

那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).

3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

如果嵌套的两段代, 时间复杂度分别T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n)),那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).

几种常见的多项式时间复杂度

1. O(1): 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。

只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

2. O(logn)、O(nlogn) 对数阶时间复杂度

O(logn)

i=1;
while (i <= n) 
{
    i = i * 2;
}

我们只要知道 i 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。2^i=n , i=log₂n，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log₂n)。

现在，把代码稍微改下

i=1;
while (i <= n) 
{
    i = i * 3;
 }

这段代码的时间复杂度为 O(log₃n)。

l O(log₃n) = O(C * log₂n)，其中 C=log₃2 是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log₂n) 就等于 O(log₃n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

O(nlogn)

如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。

3. O(m+n)、O(m*n)

空间复杂度分析

类比一下时间复杂度，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

复杂度分析: 最好, 最坏, 平均, 均摊时间复杂度

1. 最好情况时间复杂度（best case time complexity）

顾名思义，最好情况时间复杂度就是，在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。

2. 最坏情况时间复杂度（worst case time complexity）

最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。

3. 平均情况时间复杂度（average case time complexity）
   通常通过概率+加权平均方法算出平均时间复杂度, 所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。

   只有同一块代码在不同的情况下，时间复杂度有量级的差距，我们才会使用最好,这三最坏, 平均这三种复杂度表示法来区分。

4. 均摊时间复杂度（amortized time complexity）。

大部分情况下，我们并不需要区分最好、最坏、平均三种复杂度。平均复杂度只在某些特殊情况下才会用到，而均摊时间复杂度应用的场景比它更加特殊、更加有限, 所以我们并不会经常用到。

对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个时候，我们就可以将这一组操作放在一块儿分析，**看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。**而且，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。

均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度，我们没必要花太多精力去区分它们。你最应该掌握的是它的分析方法，摊还分析。至于分析出来的结果是叫平均还是叫均摊，这只是个说法，并不重要。

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最后

以上就是孝顺爆米花为你收集整理的时间复杂度与空间复杂度的全部内容，希望文章能够帮你解决时间复杂度与空间复杂度所遇到的程序开发问题。

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