《阵列信号处理及MATLAB实现》绪论、矩阵代数相关内容总结笔记

第一章        绪论

1.1  研究背景

1.1.1  阵列信号处理简介：

将一组传感器按照一定方式布置在空间的不同位置，形成传感器阵列。用传感器阵列来接收空间信号，相当于对空间分布的场信号采样，得到信号源的空间离散观测数据。通过对阵列接受的信号进行处理，增强有用信号，抑制干扰或者噪音，并提取有用的信号特征及信号包含的信息。

1.1.2  阵列信号处理研究方向：

1.波束形成技术——使阵列天线方向图的主瓣指向所需的方向，并将干扰置零。

2.空间谱估计——对空间信号波达方向的分布进行超分辨估计。

3.信号源定位——确定阵列到信源的仰角、方位角、频率、时延、距离等。

4.信源分离——确定各个信源发射的信号波形。各个信源从不同方向到达阵列，这使得这些信号波形得以分离，即使他们在时域和频域是叠加的。

第二章        阵列信号处理基础

2.1  矩阵代数相关知识

2.1.1  特征值与特征向量

，若标量和非零向量满足方程：

则称标量为矩阵的特征值，非零向量为与对应的特征向量。特征值和特征向量总是成对出现，称为矩阵的特征对，特征值可能为0，但特征向量一定非零。

2.1.2  广义特征值与广义特征向量

， 若标量和非零向量满足方程：

则称标量为矩阵相对于矩阵的广义特征值，非零向量为与对应的广义特征向量。如果矩阵B非满秩，那么可以是任意值（包括0）。当矩阵B为单位阵时，就成为了普通特征值问题。

 2.1.3  矩阵的奇异值分解

对于复数矩阵，称的n个特征根的算术根为的奇异值。其中上标H表示矩阵的共轭转置。

若记矩阵，其中是的全部非零奇异值，则称mxn矩阵S为A的奇异值矩阵。

奇异值分解定理：

对于mxn维矩阵A，则分别存在一个mxm维酉矩阵U和一个nxn维酉矩阵V，使得

2.1.4  Toeplitz矩阵

定义：具有以下形式的2n-1个元素的n阶矩阵称为Toeplitz矩阵，简称T矩阵

T矩阵完全由第一行和第一列的2N-1个元素确定。托普利兹矩阵的主对角线上的元素相等，平行于主对角线的线上的元素也相等；矩阵中的各元素关于次对角线对称

2.1.5  Hankel矩阵

定义：具有以下形式的n+1阶矩阵称为Hankel矩阵或正交对称矩阵

可见Hankel矩阵完全由第一行和第n列的2n+1个元素确定。其中沿着所有垂直于主对角线的直线上有相同的元素。是每一条副对角线上的元素都相等的矩阵。

2.1.6  Vandermonde矩阵（范德蒙德矩阵）

定义具有以下形式的mxn阶矩阵

称为范德蒙德矩阵。如果，那么V是非奇异的。

2.1.7  Hermitian矩阵（自共轭矩阵）

如果矩阵满足：

那么A称为自共轭矩阵。自共轭矩阵有以下性质：

（1）所有特征值是实数

（2）对应于不同特征值的特征向量相互正交

（3）自共轭矩阵可分解为的形式，这一分解称作谱定理，也就是矩阵A的特征值分解定理。其中是由特征向量构成的酉矩阵。

2.1.8  Kronecker积（克罗内克积也被称为直积或张量积）

定义：矩阵和矩阵的Kronecker积记作，他是一个pmxqn的矩阵，定义为：

Kronecker积有一个重要性质，即：，以下等式成立：

其中，vec()为向量化算子，，且vec(A)形式为：

Kronecker积具有如下一些性质：

2.1.9  Khatri-Rao积（KR积）

考虑两个具有相同列数的矩阵，他们的KR积为一个IJxF的矩阵，定义为：

即KR积为两个矩阵对应列向量的Kronecker积。

KR积具有如下性质：

令,KR乘积具有性质：

其中，unvec()是矩阵化算子，是vec()的逆运算：

而表示一个对角矩阵，其元素为向量x中的元素。

2.1.10  Hadamard积

矩阵的Hadamard积定义为：

2.1.11  向量化

通常，张量和矩阵用向量表示比较方便。定义矩阵的向量化为：

vec算子将矩阵Y的所有列向量堆积成为1个向量。

类似的可以定义张量Y的向量化为相应的模-1展开矩阵Y_(1)。以三阶张量的向量化可以写为：

vec算子的基本性质：

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最后

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