无线通信原理笔记

带通信号的表示

假设一个带通的时域信号为(s_p(t))，其时域表达为
$$s_p(t)=operatorname{Re}{s(t)e^{2pi f_ct}}$$
其中，(s(t)=s_r(t)+js_i(t))是复数基带信号，(s_r(t))和(s_i(t))分别是实部和虚部，(f_c)是载波频率。
根据欧拉公式
$$e^{jx}=cosx+jsinx$$
可以得到
$$s_p(t)=operatorname{Re}{(s_r(t)+js_i(t))(cos2pi f_ct+jsin2pi f_ct)}$$
$$=operatorname{Re}{(s_r(t)cos2pi f_ct-s_i(t)sin2pi f_ct) + j(s_i(t)cos2pi f_ct+s_r(t)sin2pi f_ct)}$$
$$=s_r(t)cos2pi f_ct-s_i(t)sin2pi f_ct$$
由此可知，带通的时域信号是基带信号的实部被cos载波调制加上基带的虚部被sin载波调制的叠加，即如下图所示（具体符号表示有所不同）。

从上图中可知，将基带信号用相互正交（cos和sin）的载波（相位相差90度，幅度也可以不同）调制，就是我们常说的QAM。

基带等效信道模型

由于无线信道的多径效应，接收端接收到的信号是发射信号的多个延迟的版本的叠加。接收信号可以表示为
$$y(t)=sum_{i=0}^{L-1}a_is(t-tau_i)$$
其中(L)是多径的总数，(a_i)和(tau_i)分别是第(l)径的衰减和延迟。
代入带通信号的表达式，得到每个路径上的接收信号
$$0^{th}: operatorname{Re}{a_0s(t-tau_0)e^{2pi f_c(t-tau_0)}} \
1^{st}: operatorname{Re}{a_1s(t-tau_1)e^{2pi f_c(t-tau_1)}}\
...\
L-1^{th}: operatorname{Re}{a_{L-1}s(t-tau_{L-1})e^{2pi f_c(t-tau_{L-1})}}
$$
因此，接收到的带通信号为
$$y_p(t)=sum_{i=0}^{L-1}operatorname{Re}{a_is(t-tau_i)e^{2pi f_c(t-tau_i)}} \
=operatorname{Re}{sum_{i=0}^{L-1}a_is(t-tau_i)e^{-j2pi f_ctau_i}e^{2pi f_ct}}
$$
根据前面带通信号与基带等效信号之间的关系可知，接收信号的基带等效信号为
$$y(t)=sum_{i=0}^{L-1}a_is(t-tau_i)e^{-j2pi f_ctau_i}$$

衰落信道模型

在窄带信号的假设条件下（信号的带宽远小于载波频率）有，(s(t)approx s(t-tau_i))。因此，接收基带等效信号可以表示为
$$y(t)=hs(t)$$
其中，(h)就是衰落信道系数，表示为
$$h=sum_{i=0}^{L-1}a_ie^{2pi f_ctau_i} \ =sum_{i=0}^{L-1}(a_icos2pi f_ctau_i+ja_isin2pi f_ctau_i)$$
其中(a_i)和(tau_i)都是随机变量，若定义随机变量
$$X=sum_{i=0}^{L-1}a_icos2pi f_ctau_i \ Y=sum_{i=0}^{L-1}a_i sin2pi f_ctau_i$$

由于X和Y均是大量独立同分布的随机变量之和，根据中心极限定理可知，X和Y均服从高斯分布。进一步，我们假设X和Y相互独立，且服从0均值，方差为1/2的高斯分布，即(X,Ysim N(0,1/2))。则X和Y的联合分布函数为

$$f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y) \ =frac{1}{sqrt{pi}}e^{-x^2}frac{1}{sqrt{pi}}e^{-y^2} \ =frac{1}{pi}e^{-(x^2+y^2)}$$

衰落信道系数可以进一步表示为

$$h=x+jy=ae^{jphi}$$

则，(h)的幅度和相位也是随机变量，其联合分布为

$$f_{A,Phi}(a,phi)=frac{1}{pi}e^{-(x^2+y^2)}|J_{XY}|$$

其中，(J_{XY})是雅克比矩阵，而(|J_{XY}|)是它的行列式。

$$J_{XY}=begin{bmatrix} frac{partial x}{partial a} & frac{partial y}{partial a}\ frac{partial x}{partial phi} & frac{partial y}{partial phi}end{bmatrix}$$

因为(x=acosphi)，(y=asinphi)，所以

$$ |J_{XY}|=begin{vmatrix} cosphi & sinphi\ -asinphi & acosphi end{vmatrix}=a $$

代入前面的公式并结合(a^2=x^2+y^2)，得到

$$f_{A,Phi}(a,phi)=frac{a}{pi}e^{-a^2}$$

有了联合概率密度函数后，对(A)和(Phi)求边缘密度，得到

$$f_A(a)=int_{-pi}^{pi}f_{A,Phi}(a,phi)dphi=2ae^{-a^2} \ f_Phi(phi)=int_{0}^{infty}f_{A,Phi}(a,phi)da=frac{1}{2pi}int_{0}^{infty}2ae^{-a^2}da=frac{1}{2pi}(-e^{-a^2})|_0^{infty}=frac{1}{2pi}$$

从上式可以看出，衰落信道系数(h)的幅度服从Rayleigh分布，而相位服从均匀分布——我们称之为瑞利衰落信道。

AWGN条件下BPSK的BER特性

AWGN条件下，接收信号可以表示为

$$y=x+n$$

其中，(n)是高斯白噪声，即(nsim N(0,sigma^2))，其概率密度函数为

$$f_N(n)=frac{1}{sqrt{2pisigma^2}}e^{-frac{n^2}{2sigma^2}}$$

对于BPSK来说，假设符号“0”用功率(sqrt{P})发送，而符号"1"用功率(-sqrt{P})发送。

当(x)发送“1”时，有

$$x=-sqrt{P} \ y=-sqrt{P}+n$$

对BPSK来说，接收端判决的门限是0，因此，当接收电平高于0时，则会发生误码。若将这个概率记为(P_{e1})，则有

$$P_{e1}=P(y>0) \ =P(-sqrt{P}+n>0) \ =P(n>sqrt{P})$$

代入AWGN的概率密度，得到

$$P_{e1}=int_{sqrt{P}}^{infty}f_N(n)dn \ =int_{sqrt{P}}^{infty}frac{1}{sqrt{2pisigma^2}}e^{-frac{n^2}{2sigma^2}}dn$$

定义(frac{n}{sigma}=t)，得到

$$P_{e1}=int_{frac{sqrt{P}}{sigma}}^{infty}frac{1}{sqrt{2pi}}e^{-t^2/2}dt \ =Qleft ( sqrt{frac{P}{sigma^2}}  right ) \ =Qleft (sqrt{SNR} right )$$

同理，当发送符号0时，记误码的概率为(P_{e0})，

$$P_{e0}=P(nleqslant -sqrt{P})$$

由于高斯白噪声的概率密度是以0为均值的对称函数，则

$$P_{e0}=P_{e1}$$

整个系统的误码率为

$$P_e=P_{e0}P(发送符号0)+P_{e1}P(发送符号1)$$

在发送端等概率发送符号0和符号1的假设条件下，有

$$P_e=frac{1}{2}(P_{e0}+P_{e1}) \ =Qleft( sqrt{SNR} right)$$

其中，(SNR=frac{P}{sigma^2})是信噪比。

Rayleigh衰落条件下BPSK的BER性能

Rayleigh衰落信道条件下，接收信号可以表达为

$$y=hx+n$$

其中，(h)是衰落系数，(nsim N(0,sigma^2))。此时，接收信号中有用信号的功率为

$$p_f=|h|^2P$$

由于(h=ae^{jphi})，得到

$$p_f=a^2P$$

因此，接收端的衰落信噪比为

$$SNR_{fading}=frac{a^2P}{sigma^2}$$

代入AWGN下BPSK的BER公式，可以得到Rayleigh衰落条件下的BER性能为

$$P_e=Qleft( sqrt{a^2SNR} right)$$

信道的衰落特性导致信道的幅度(a)是随机变量，因此，衰落条件下的(P_e(a))也是随机变量，所以讨论平均BER是有意义的。

代入Rayleigh衰落信道幅度的概率密度函数(f_A(a)=2ae^{-a^2})，得到平均BER为

$$bar{P}_e=int_{0}^{infty}Qleft( sqrt{a^2SNR}right)2ae^{-a^2}da$$

(积分过程略)

$$bar{P}_e=frac{1}{2}left( 1- sqrt{frac{SNR}{2+SNR}}right)$$

在高信噪比条件下，得到如下近似

$$bar{P}_e=frac{1}{2}left( 1-sqrt{frac{1}{frac{2}{SNR}+1}} right) \  =frac{1}{2}(1-(1+frac{2}{SNR})^{-1/2}) \ approx frac{1}{2}(1-1+frac{1}{2}frac{2}{SNR}) \ =frac{1}{2SNR} tag{*}$$

由此可知，Rayleigh衰落信道条件下，BPSK系统的平均BER特性依(1/SNR)衰减。相比AWGN条件下

$$P_e=Qleft( sqrt{SNR} right) approx frac{1}{2}e^{-frac{SNR}{2}} tag{**}$$

依指数衰减慢得多！

举例说明，在同一个系统中，要达到相同的误码率要求（比如(10^{-6}) ），在Rayleigh衰落信道下，相比AWGN条件下，前者需要更多的SNR（多需要43dB！）。

深衰落分析

一般来讲，当信道发生深衰落时，系统的误码率很高。我们首先将“深衰落”事件定义为接收信号的功率低于噪声功率的事件，则深衰落事件发生的概率为

$$begin{aligned} P_{DF}&=operatorname{Pr}(a^2Pleqslant sigma^2) \ &=operatorname{Pr}(aleqslant frac{1}{sqrt{operatorname{SNR}}}) end{aligned}$$

结合Rayleigh衰落幅度的概率密度函数，得到

$$begin{aligned} P_{DF}&=int_{1/sqrt{operatorname{SNR}}}^{infty}2ae^{-a^2}da \ &=-e^{-a^2}|_{1/sqrt{operatorname{SNR}}}^{infty} \ &=e^{-frac{1}{operatorname{SNR}}} end{aligned}$$

在高信噪比条件下，根据(e^{-x}approx x)，可以得到深衰落概率的近似表达式

$$P_{DF}approx frac{1}{operatorname{SNR}}$$

将上述结论与Rayleigh衰落信道条件下的BER公式(*式)比较，可知BER和深衰落的概率均正比于信噪比的倒数，因此，高信噪比条件下，系统发生误码的概率正比于深衰落事件发生的概率。

分集的概念

从某种程度上讲，系统发生误码很大程度上是因为深衰落事件的发生，此时接收的功率很小，甚至低于噪声的功率，接收端无法分辨有用新号和噪声，因此发生判决的错误。

在单链路系统中，收发机之间只有一条无线链路，当这条链路发生“深衰落”时，系统发生误码的概率很高。为了解决“深衰落”的问题，需要提供额外的多个“备份”链路，当其中一部分链路发生深衰落时，其他的链路可能没有深衰落，系统的误码可能不会很高。也就是说，所谓的“分集”就是“额外的备份”。

分集的实现有很多种，比如在接收端使用多个天线接收——接收分集；在发送端用多个天线发送——发射分集；在多个符号时间上发送同一个符号——时间分集；在多个频率上发送相同的符号——频域分集；在多个用户上传输——多用户分集，等等。

最大比合并（器）

考虑上图中的一发两收的通信系统，其中发送符号记为(x)，发送天线到两个接收天线之间的信道记为(h_1)和(h_2)，接收信号记为(y_1)和(y_2)，则系统模型如下式所示

$$y_1=h_1x+n_1 \ y_2=h_2x+n_2$$

其中，(n_1)和(n_2)分别是两个接收天线上的高斯白噪声，它们具有三个特性：

1. 零均值，即(E{n_1}=E{n_2}=0)
2. 同方差，即(E{|n_1|^2}=E{|n_2|^2}=sigma^2)
3. 不相关，即(E{n_1n_2}=0)

将系统模型写成向量形式，为

$$begin{bmatrix}
y_1 \
y_2 
end{bmatrix}=begin{bmatrix}
h_1 \
h_2 
end{bmatrix}x+begin{bmatrix}
n_1 \
n_2 end{bmatrix}$$

也可以写成

$$mathbf{y}=mathbf{h}x+mathbf{n}$$

可见，向量(mathbf{y}=[y_1,y_2]^T)是分别在两个接收天线接收到的同一个发送符号的信号，我们需要通过某种方式合并这两个信号，用来获得一个输出信号。我们将这个输出信号记为(tilde{y})，即

$$tilde{y}=w_1y_1+w_2y_2$$

其中，(w_1)和(w_2)是“合并权重因子”，写成向量形式有

$$begin{aligned} tilde{y}&=[w_1,w_2]mathbf{y} \ &=mathbf{w}^Tmathbf{y}end{aligned}$$

代入接收信号的公式，得到

$$begin{aligned} tilde{y}&=mathbf{w}^T(mathbf{h}x+mathbf{n}) \ &=mathbf{w}^Tmathbf{h}x+mathbf{w}^Tmathbf{n} end{aligned}$$

其中，第一项是接收的有用信号，第二项是噪声项。因此，接收信噪比可以表示为

$$operatorname{SNR}=frac{|mathbf{w}^Tmathbf{h}|^2P}{E{|mathbf{w}^Tmathbf{n}|^2}}$$

我们先看噪声项的功率。由于

$$begin{aligned} mathbf{w}^Tmathbf{n}&=[w_1 w_2]begin{bmatrix} n_1 \ n_2end{bmatrix} \ &=w_1n_1+w_2n_2end{aligned}$$

所以

$$begin{aligned} E{(w_1n_1+w_2n_2)^2}&=E{w_1^2n_1^2+w_2^2n_2^2+2w_1w_2n_1n_2} \ &=w_1^2E{n_1^2}+w_2^2E{n_1^2}+2w_1w_2E{n_1n_2} \ &=(w_1^2+w_2^2)sigma^2 \ &=sigma^2left |mathbf{w}right |^2 end{aligned}$$

因此，接收信噪比为

$$operatorname{SNR}=frac{P|mathbf{w}^Tmathbf{h}|^2}{sigma^2left| mathbf{w} right|^2}$$

再来看有用信号的功率

$$begin{aligned} mathbf{w}^Tmathbf{h}&=[w_1 w_2]begin{bmatrix} h_1 \ h_2 end{bmatrix} \ &=w_1h_1+w_2h_2 \ &=mathbf{w}cdotmathbf{h} end{aligned}$$

可知，上式为信道系数和合并权重因子之间的点积。根据点积的公式

$$|mathbf{w}^Tmathbf{h}|=left|mathbf{w}right| left|mathbf{h}right| costheta$$

其中，(theta)是向量(mathbf{w})和(mathbf{h})之间的夹角。

因此

$$|mathbf{w}^Tmathbf{h}|^2=left|mathbf{w}right|^2 left|mathbf{h}right|^2 cos^2theta$$

所以

$$operatorname{SNR}=frac{Pleft|mathbf{h}right|^2cos^2theta}{sigma^2}$$

什么条件下可以使得接收端的信噪比最大？显然，当(theta=0)时，也就是当合并权重向量(mathbf{w})与衰落信道向量(mathbf{h})同向时，即

$$mathbf{w}propto mathbf{h}$$

接收端信噪比达到最大值，(frac{Pleft|mathbf{h}right|^2}{sigma^2})。进一步，假设合并权重向量为单位向量，即

$$mathbf{w}=frac{mathbf{h}}{left|mathbf{h}right|}=frac{1}{left|mathbf{h}right|}begin{bmatrix} h_1 \ h_2 end{bmatrix} = frac{1}{sqrt{|h_1|^2+|h_2|^2}}begin{bmatrix} h_1 \ h_2 end{bmatrix}$$

当合并权重向量按上式取值时，可以使得接收信噪比达到最大，因此，称这种合并方式为“最大比例合并”（MRC，此处的“比例”指的是信噪比），而向量(mathbf{w})成为“最大比例合并器”。

将上述推导推广到复数域中或L个接收天线的情况，结论是类似的，只不过需要将向量的“转置”操作替换为“共轭转置”，即

$$tilde{y}=mathbf{w}^Hmathbf{y}=mathbf{w}^Hmathbf{h}x+mathbf{w}^Hmathbf{n}$$

最后

以上就是懵懂棒球为你收集整理的无线通信原理笔记的全部内容，希望文章能够帮你解决无线通信原理笔记所遇到的程序开发问题。

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