gamma函数stiriling公式_神奇的伽玛函数 | 伽玛函数和伽玛分布……

伽玛函数(Gamma函数)，也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。伽玛函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。

我们通常看到的伽玛函数是这样的：

这到底是个什么东西？有什么用？欧拉又是怎么发现它的？

　　欧拉大神

发现伽玛函数的起因是数列插值。数列插值问题，通俗地说就是把数列的通项公式从整数定义域扩展到实数。例如数列1,4,9,16,.....可以用通项公式n²表达，即便n为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说，就是可以找到一条平滑的曲线y = x²，该曲线能够通过所有的整数点(x, x²)，从而可以把定义在整数域的公式扩展到实数域。

1728年，哥德巴赫开始处理阶乘序列的插值问题：1,2,6,24,120,720,...，既然可以计算2!, 3!,…，是否可以计算2.5!呢？把最初的一些(n, n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，能够画出一条通过这些点的平滑曲线。问题是，这条曲线是什么？

哥德巴赫无法解决阶乘往实数域上扩展的这个问题，于是写信请教尼古拉斯·贝努利和丹尼尔·贝努利两兄弟，由于欧拉当时正好和丹尼尔·贝努利在一块玩，他也因此得知了这个问题。之后欧拉于1729年完美地解决了这个问题，由此导致了伽玛函数的诞生。当时欧拉只有 22 岁，这让我感觉自己就是混吃等死的。

在某一个特殊的时刻，欧拉发现阶乘n!可以用一个无穷乘积表示：

如果有m项乘积：

当m远远大于n时，上式可继续计算：

当m→∞时，无穷乘积的极限：

很难想像在没有计算机的年代能够发现这个变态的无穷乘积，估计欧拉当年是根据极限倒推无穷乘积，然后对外宣称在机缘巧合下发现了无穷乘积。

值得注意的是，n!明显不等于③，③又是由②整理而来的，因此n!也不等于②，而是在m→∞时n!等于②或③的极限。以n = 2为例，n! = 2，m是2、50、100时，②的结果分别是1.5、1.9615384615384617、1.980392156862745，展开的越多，越接近于n!。

有了这个无穷乘积，欧拉便开用1/2代入①进行尝试：

根号里面的东西是英国数学家沃利斯(John Wallis)在1665年写下的沃利斯公式：

于是欧拉把沃利斯公式折半：

π真是一个神奇的数字！

1665年牛顿还很小，还没有发明积分，沃利斯用各种巧妙的技巧得到了这个结论，推导过程实际上是在处理。受沃利斯的启发，欧拉开始考虑如下的一般形式的积分：

此处n为正整数，a为正实数。利用分部积分：

继续使用分部积分：

上面所有递推合并到一起就得到了最终的结果：

现在阶乘变成了积分的形式。然而这个式子的前提是n是正整数，无法推广到分数，欧拉继续研究如何化简这个表达式。a是一个任意实数，能否让a消失？一个惯用的方法是取极端值，a > 0的一个极端是无穷，看看让a趋近于无穷时会得到什么结果。这里欧拉使用的技巧是让a等于两个实数的商：

等式两侧同时除以(f+g)(f+2g)…(f+ng)：

当f→1，g→0时，左侧趋近于n!，但是右侧出现了讨厌的0分母，此时为了简化计算：

将上式结论代入④：

用求极限的方式去掉f和g：

当f→1，g→0时h→0，(1-t^h)/h的极限变成了0/0的形式，在洛必达法则的帮助下，0/0形和∞/∞形的极限也是可以求解的。令u(h) = 1-t^h，v(h) = h，根据洛必达法则：

于是在对⑤的等式两侧求极限时，神奇的一幕出现了：

任意实数a已经消失了，n!变成了一个简洁的积分形式。继续变换：

这就是欧拉最早定义的伽玛函数，实际上就是阶乘扩展到实数范围：

但是欧拉后来修改了伽玛函数的定义，变成了：

这也是现在我们所说的伽玛函数，⑥和⑦是两种表达，⑦更为常见，从积分域可以看出t和u的取值范围。

欧拉在伽玛函数的推导中实际上引入了两类积分形式：

后来这两个积分的参数做了-1的偏移，改为：

B(α, β)现在成为贝塔函数或贝塔积分，Γ(x)实际上是在计算x – 1的阶乘，两个函数之间存在一些很好的关系：

我们知道0! = 1，Γ(1)对此进行了解释：

来看一下Γ(x)的曲线：

　从Γ(x)的曲线可以看出Γ函数是一个凸函数，logΓ(x)也是一个凸函数：

下面的的matlib代码可以绘制Γ(x)和logΓ(x)的曲线：

x = 0:0.1:10;plot(x, gamma(x));axis([0,4,0,6]);xlabel('x');ylabel('r(x)');figure;plot(x, lgamma(x));axis([0,8,-1,6]);xlabel('x');ylabel('logr(x)');

伽玛函数在概率统计中频繁现身，泊松分布、贝塔分布、狄克雷分布中都有伽玛函数的身影。当然，发生最直接联系的概率分布是直接由伽玛函数变换得到的伽玛分布。

为了便于看清伽玛分布，先把伽玛函数中的变量名称修改一下：

等式两侧同时除以Γ(α)：

这正好符合连续型概率分布的定义，被积函数就是伽玛分布的密度函数：

如果令u = βx，则：

于是我们得到了伽玛分布的一般形态：

其中α称为形状参数(shape parameter)，决定了分布曲线的形状；β称为速率参数(rate parameter)或逆尺参数(inverse scale parameter)，决定了曲线的陡峭程度：

α" style="display: inline-block; overflow-wrap: normal; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; float: none;">β" style="display: inline-block; overflow-wrap: normal; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; float: none;">

可以看到， β之所以被称为逆尺参数，是因为1/β越大，曲线越陡峭。在matlab中，gamma分布的参数使用的是1/β：

x = 0:0.1:20;a = [1 2 3 5 9]; b = [0.5 0.5 0.5 1 2]; L(1, 1) = {''};for i = 1:size(a)(2)  g = gampdf(x, a(i), 1/b(i));  L(1, i) = ['alpha=', num2str(a(i)), ',beta=', num2str(b(i))];  plot(x, g, 'LineWidth',2);  hold on;endforlegend(L);xlabel('x');ylabel('f(x;alpha, beta)');axis([0,20,0,0.5]);

概率统计中的众多分布都和Gamma分布有密切关系。以泊松分布为例，随机变量X服从参数为λ的泊松分布分布X~Po(X; λ)，其质量函数是：

在Gamma分布的密度中取α=r+1，β=1得到：

因此当β=1时，Gamma分布和泊松分布在形式上是完全一致的，只是泊松分布是离散的，而Gamma分布是连续的，可以直观地认为Gamma分布是泊松分布在正实数集上的连续化版本。

伽玛分布的期望值和方差分别为：

α" style="display: inline-block; overflow-wrap: normal; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; float: none;">β" style="display: inline-block; overflow-wrap: normal; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; float: none;">

本文参考：https://cosx.org/2013/01/lda-math-gamma-function