邻域保留投影算法（NPE）（Neighborhood Preserving Embedding）算法详解

上一篇降维算法的相关论文为LPP算法，也是何小飞老师的论文https://blog.csdn.net/qq_39187538/article/details/90402961

1.问题导入

2.算法出处

3.算法详解

4.算法步骤

1.问题导入：

降维的目的是为了缓解维数灾难，比如原始空间X=[x1,x2,...xn],每一个xi有m个维度，要将其降维到Y=[y1,y2,...,yn]，每一个yi成为了m'维度(m'<<m)，需要一个矩阵P，使得yi=P'X(注：这里P'表示P的转置)，当m足够大的时候，对其进行内积运算就会产生内存不足的情况，特别是在处理人脸数据集，一个人脸数据集假如是100X100的（这还是一个比较小的人脸数据），reshape操作之后就会成为10000X1的，对其直接进行knn分类或者svm分类就有可能产生内存不足，而且人脸数据集中有很多冗余的信息，降维的目的就是剔除这些冗余的信息，构建一个新的坐标轴，使原始数据点能够投影到新的坐标轴上（关于投影最直接的一个例子就是pca将二维x，y轴二维数据集降维到一维的数据集，可以参考西瓜书上的说明），找到这个最优的坐标轴也就是成了降维优劣的衡量标准了（具体的衡量是降维后的数据集进行分类，比较精度，kappa系数等等）。

2.算法出处：

算法全称《Neighborhood Preserving Embedding》源自何小飞教授的会议论文X.He,D.cai,S.Yan,H.Zhang,Neighborhood Preserving Embedding,in:Proceedings in International Conference on Computer Vision(ICCV),2005的定会上。算法改编自LLE算法，LLE是S.Roweis,L.Saul,Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding,Science 290(5500)(2000)2323-2326，发表在science上的论文。

3.算法详解：

算法的步骤其实跟LPP差不多，都是通过样本是通过邻域近似线性表示得到的，但是构造函数不相同，LPP的可以看我的另外一篇文章https://blog.csdn.net/qq_39187538/article/details/90402961，如果不懂降维相关的，推荐先从pca开始看，可以看南京大学周志华教授的著作《机器学习》俗称西瓜书。这里npe的算法原理就是最小化重构误差来达到降维效果的最优，而lpp是对某一数据集，计算他与所有点的欧式距离，这是lpp与npe的不同之处。并且重构是通过k近邻的形式进行的线性重构。关于lle的图解图下：

npe的损失函数如下：

（1）

（2）

3.1此函数的物理意义：

（1）是论文里面的，但是不便于理解，我就根据1中的问题导入，将公式改为（2）的形式，便于理解一般损失函数都是min的形式。这里xi表示的是降维后空间中的任意数据点，xj表示的是xi的k近邻，可以表示成xj属于k(xi)，注意这里的j是表示的个数，函数的物理意义就是，后面的一部分表示的就是由xi的k近邻的所有数据点的一个线性表示来重构xi（所以要使用j=1到k的求和的形式），然后最前面的i=1到n（表示的是所有的数据集）求和。当损失函数最小的时候（理想是0，就表示，这个时候xi=后面的一部分，但是实际情况中不可能满足所有的，因此使用min来达到最优）。这里也是通过欧式距离来衡量两点之间的距离的。计算降维后的损失函数就可以将x替换为y。

3.2.公式推导：

这里的公式推导，可以先将其转化为向量的形式进行。M=(I-W)'(I-W)(注：这里‘表示的是转置)。

4.算法步骤：

4.1：构建近邻图：

这里跟LPP一样由两种形式：

一种是计算距离，然后排序，并按照从小到大进行取前k个，那么这前k个就是其k近邻。不过这里构建的是有向边，而lpp构建的是无向边。

第二种是kesai球的形式，也是一样一般不怎么使用，因为这个kesai处理的问题不一样，那么kesai的取值就不稳定。

4.2计算权重：

计算权重的形式可以参考LLE的相关论文也就是上面提及到的Science论文。Sam Roweis, and Lawrence K. Saul, “Nonlinear Dimensionality Reduction by Locally Linear Embedding,” Science, vol 290, 22 December 2000.

4.3：计算投影矩阵

根据上面的形式，这里有两个固定的思路，就是如果采用重建的形式，一般的约束都是a'XIX'a这种形式。如果是采用LPP那种，将每两两数据点之间的距离进行度量，那么就是使用D的形式构造，关于LPP的可以参考我的关于LPP的讲解https://blog.csdn.net/qq_39187538/article/details/90402961，所以这里就使用这种形式。

转化为特征值问题就是：

然后可以使用matlab自带的函数进行处理[eigvector, eigvalue] = eig(XMX',XX')(注：这里的‘表示的是转置的意思’);

最后

以上就是细心棒棒糖为你收集整理的邻域保留投影算法（NPE）（Neighborhood Preserving Embedding）算法详解的全部内容，希望文章能够帮你解决邻域保留投影算法（NPE）（Neighborhood Preserving Embedding）算法详解所遇到的程序开发问题。

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