数据结构【二叉树】（堆实现）（堆排序）（TopK问题）本章重点树的概念及结构树在实际中的运用二叉树概念及结构二叉树的顺序结构及实现

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我是靠谱客的博主美好黑猫，最近开发中收集的这篇文章主要介绍数据结构【二叉树】（堆实现）（堆排序）（TopK问题）本章重点树的概念及结构树在实际中的运用二叉树概念及结构二叉树的顺序结构及实现，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

本章重点
树的概念及结构
- 树的相关概念
- 树的表示
树在实际中的运用
二叉树概念及结构
- 概念
- 特殊的二叉树：
- 二叉树的性质
- 二叉树的存储结构
二叉树的顺序结构及实现
- 二叉树的顺序结构
- 堆的概念及结构
- 堆的性质
- 堆的实现
- - 堆向下调整算法
  - 堆的创建
  - 建堆时间复杂度
  - 堆的插入
  - 堆的删除
  - 堆的代码实现
- 堆的应用
- - 堆排序
  - TOP-K问题

秃头侠们好呀，今天咱们来聊聊 二叉树

本章重点

树的概念及结构
二叉树的概念及结构
二叉树顺序结构及实现

树的概念及结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

在这里插入图片描述

1、树有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。
2、除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
3、因此，树是递归定义的。

注意：
1、树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
2、除了根节点外，其余结点有且仅有一个父节点
3、一棵有N个结点的树，有N-1条边

树的相关概念

在这里插入图片描述
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法（左孩，右兄）。

typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType data; // 结点中的数据域
};

在这里插入图片描述

树在实际中的运用

文件系统的目录树结构
在这里插入图片描述在目前用树表示的目录结构中，从根目录到任何数据文件，有唯一通道。

二叉树概念及结构

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

或者为空
由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

在这里插入图片描述
从上图可以看出：
1、二叉树不存在度大于2的结点
2、二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
在这里插入图片描述
让我们来看看现实中的二叉树：

特殊的二叉树：

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为k，且结点总数是2^(k-1) ，则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树的性质

在这里插入图片描述

二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1、顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面会讲到。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

在这里插入图片描述 2.、链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链。

在这里插入图片描述

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode{
struct BinTreeNode* Left; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* Right; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点值域
};

二叉树的顺序结构及实现

二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

堆的概念及结构

在这里插入图片描述

堆的性质

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值
堆总是一棵完全二叉树
所有的数组都可以表示成完全二叉树，但是他不一定是堆

在这里插入图片描述

堆的实现

堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

在这里插入图片描述

堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

int a[] = {1,5,3,8,7,6};

在这里插入图片描述

建堆时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)

在这里插入图片描述
因此：建堆的时间复杂度为O(N)。

堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆
在这里插入图片描述

堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法
在这里插入图片描述

堆的代码实现

Heap.h

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>

typedef int	HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;

void AdjustUp(HPDataType* a, int child);

void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent);

void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py);

void HeapInit(HP* hp);

void HeapDestroy(HP* hp);

void HeapPush(HP* hp,HPDataType x);

void HeapPop(HP* hp);

HPDataType HeapTop(HP* hp);

void HeapPrint(HP* hp);

bool HeapEmpty(HP* hp);

int	HeapSize(HP* hp);

Heap.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Heap.h"

void HeapInit(HP* hp)
{
	assert(hp);
	hp->a = NULL;
	hp->size = hp->capacity = 0;
}

void HeapDestroy(HP* hp)
{
	assert(hp);
	free(hp->a);
	hp->capacity = hp->size = 0;
}

void HeapPush(HP* hp, HPDataType x)
{
	assert(hp);
	if (hp->size == hp->capacity)
	{
		int newCapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = realloc(hp->a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);
		if (tmp == NULL)
		{
			printf("realloc failn");
			exit(-1);
		}
		hp->a = tmp;
		hp->capacity = newCapacity;
	}
	hp->a[hp->size] = x;
	hp->size++;

	AdjustUp(hp->a, hp->size - 1);
}

void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	assert(a);
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child>0)
	{
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);

			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py)
{
	HPDataType tmp = *px;
	*px = *py;
	*py = tmp;
}

void HeapPrint(HP* hp)
{
	assert(hp);
	for (int i = 0; i < hp->size; i++)
	{
		printf("%d ", hp->a[i]);
	}
	printf("n");
}

bool HeapEmpty(HP* hp)
{
	assert(hp);

	return hp->size == 0;
}

void HeapPop(HP* hp)
{
	assert(hp);
	assert(!HeapEmpty(hp));
	Swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size - 1]);
	hp->size--;
	AdjustDown(hp->a, hp->size, 0);

}

int HeapSize(HP* hp)
{
	assert(hp);

	return hp->size;
}

HPDataType HeapTop(HP* hp)
{
	assert(hp);
	assert(!HeapEmpty(hp));

	return hp->a[0];
}

void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{
	assert(a);
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child<size)
	{
		// 选出左右孩子中小的那一个
		if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child])
		{
			child++;
		}
		// 如果小的孩子小于父亲，则交换，并继续向下调整
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}	
	}
}

堆的应用

堆排序

给你一个数组int a[N]={x,x,x,x,x…}让你按升序排列

我们先用一个笨办法，建立一个N个数的小堆，堆顶的肯定是最小值，把这个最小值放到数组里，然后pop一下栈顶，再取下一个次小值。

void HeapSort(int*a,int n)
{
    HP hp;
    HeapInit(&hp);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        HeapPush(&hp,a[i]); 
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        a[i]=HeapTop(&hp);
        HeapPop(&hp);
    }
    HeapDestroy(&hp);
}

这样有什么问题吗？
空间复杂度为O(N)，因为你又开辟了一个小堆，并且你这样为了排序，还得写一个堆实现，这里能不能有更优的方法呢？比如将空间复杂度控制到O(1)。

我们可以把数组直接当成一个堆，那我们把这个堆调整为大堆还是小堆呢？
我们这里排的是升序，我们首先想到的是建小堆，因为小堆的堆顶元素是最小值，这样我们就选出来最小值了，那我们怎么选出次小值呢？

我们只能把最小的那个值放到数组首，然后剩下的再看成一个堆（如图）
在这里插入图片描述
但是这样的问题很明显，我们之前建立好的小堆被打乱了，我们现在只能把剩下的再重新建小堆，这时的时间复杂度变成了O(N*N) 那咱还不如直接冒泡排序呢。

所以我们不妨来试试排升序建大堆
建大堆后，堆顶是最大值，然后让堆顶和最后的交换，向下调整，这样最大的值就被放到最后了，然后最后一个数不看成堆里面的元素，现在堆顶又是次大值了，再和后面交换，向下调整。以此类推最后就排序好了。

我们用向下调整法建堆，上面说过了，建堆的时间复杂度为O(N)
然后再选堆顶的数扔后面，向下调整，每一次时间复杂度为O(logN)
总共N个数，所以是NlogN
**所以最终的堆排序的时间复杂度为O(NlogN)。**

升序：建大堆
降序：建小堆

//向下调整建堆
for(int i=(n-1-1)/2;i>=0;i--)
{
    AdjustDown(a,n,i);
}
//依次选数调整
for(int end=n-1;end>0;end--)
{
    Swap(&a[end],&a[0]);
    AdjustDown(a,end,0);
}

TOP-K问题

问题是在N个数中找出最大的前K个数（一般K远小于N）

方法一：

将N个数降序排序，那么前K个数就是最大的

这种方法的问题是什么呢，杀鸡用牛刀，人家让你找前K个数，你把所有数都排了，时间复杂度最快是O(N*logN)

方法二：

将N个数依次插入大堆，Pop K次，每次取堆顶的数据，就是前K个最大的数

N个数建堆时间复杂度是O(N)，Pop K次的时间复杂度O(KlogN)
总时间复杂度为O(N+KlogN)

但是假设N非常大，N是10亿，内存中存不下这些数据，他们存在文件中，此时方法一、二都不能用了，因为他俩都得是在内存中进行计算，所以我们只能用方法三：

用前K个数建立一个K个数的小堆
剩下的N-K个数依次和堆顶的数比较，如果比堆顶的数大，就替换掉这个数，将堆顶的数Pop掉，然后再插入新数（因为是降序找最大的K个数，我们建的是小堆，所以堆顶是最小的数，当有比它大的数就替换它进堆）
最后堆里的K个数就是最大的前K个数

建立一个K个数的堆时间复杂度是O(K)
剩下N-K个数向下调整时间复杂度O( (N-K)*logK )
总时间复杂度为O(K+(N-K)*logK)≈O(N)

void PrintTopK(int*a,int n,int k)
{
    HP hp;
    HeapInit(&hp);
    for(int i=0;i<k;i++)
    {
         HeapPush(&hp,a[i]);
    }
    for(int i=k;i<n;i++)
    {
        if(a[i]>HeapTop(&hp))
        {
            HeapPop(&hp);
            HeapPush(&hp,a[i]);
        }
    }
    HeapPrint(&hp);
    HeapDestroy(&hp);
}

二叉树链式结构的实现和相关内容放到下篇

感谢阅读，我们下期再见
如有错欢迎提出一起交流

最后

以上就是美好黑猫为你收集整理的数据结构【二叉树】（堆实现）（堆排序）（TopK问题）本章重点树的概念及结构树在实际中的运用二叉树概念及结构二叉树的顺序结构及实现的全部内容，希望文章能够帮你解决数据结构【二叉树】（堆实现）（堆排序）（TopK问题）本章重点树的概念及结构树在实际中的运用二叉树概念及结构二叉树的顺序结构及实现所遇到的程序开发问题。

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本图文内容来源于网友提供，作为学习参考使用，或来自网络收集整理，版权属于原作者所有。

本文分类：C语言
浏览次数：50 次浏览
发布日期：2024-05-14 07:10:02
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数据结构【二叉树】（堆实现）（堆排序）（TopK问题）本章重点树的概念及结构树在实际中的运用二叉树概念及结构二叉树的顺序结构及实现

概述

目录

本章重点

树的概念及结构

树的相关概念

树的表示

树在实际中的运用

二叉树概念及结构

概念

特殊的二叉树：

二叉树的性质

二叉树的存储结构

二叉树的顺序结构及实现

二叉树的顺序结构

堆的概念及结构

堆的性质

堆的实现

堆向下调整算法

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堆的插入

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堆的应用

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树的概念及结构

树的相关概念

树的表示

树在实际中的运用

二叉树概念及结构

概念

特殊的二叉树：

二叉树的性质

二叉树的存储结构

二叉树的顺序结构及实现

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