2021-08-172021/8/17打卡算法前缀和&差分

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我是靠谱客的博主舒适夕阳，最近开发中收集的这篇文章主要介绍2021-08-172021/8/17打卡算法前缀和&差分，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

2021/8/17打卡算法前缀和&差分

前缀和

前缀和是一种重要的预处理，能大大降低查询的时间复杂度。可以简单理解为“数列的前 n 项的和”。

C++ 标准库中实现了前缀和函数 partial_sum，定义于头文件中。

例题
有 N 个的正整数放到数组 A 里，现在要求一个新的数组B ，新数组的第 i 个数 B[i] 是原数组 A 第 0到第 i 个数的和。

输入：

5
1 2 3 4 5

输出：

1 3 6 10 15

解题思路
递推：B[0] = A[0]，对于 i>=1 则 B[i] = B[i-1] + A[i]。

参考代码

#include <iostream>
using namespace std;

int N, A[10000], B[10000];
int main() {
  cin >> N;
  for (int i = 0; i < N; i++) {
    cin >> A[i];
  }

  // 前缀和数组的第一项和原数组的第一项是相等的。
  B[0] = A[0];

  for (int i = 1; i < N; i++) {
    // 前缀和数组的第 i 项 = 原数组的 0 到 i-1 项的和 + 原数组的第 i 项。
    B[i] = B[i - 1] + A[i];
  }

  for (int i = 0; i < N; i++) {
    cout << B[i] << " ";
  }

  return 0;
}

二维/多维前缀和

多维前缀和的普通求解方法几乎都是基于容斥原理。

示例：一堆前缀和扩展到二维前缀和
比如我们有这样一个矩阵，可以视为二维数组：

`1 2 4 3
 5 1 2 4
 6 3 5 9`

我们定义一个矩阵 sum 使得

那么这个矩阵长这样：

1  3  7  10
6  9  15 22
12 18 29 45

第一个问题就是递推求 sum 的过程，在这里插入图片描述。
因为同时加了和
故重复了，减去

第二个问题就是如何应用，譬如求 (x1,y1)-(x2,y2) 子矩阵的和。

那么，根据类似的思考过程，易得答案为在这里插入图片描述
例题

在一个 n×m 的只包含 0 和 1 的矩阵里找出一个不包含 0 的最大正方形，输出边长。

#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
int a[103][103];
int b[103][103];  // 前缀和数组，相当于上文的 sum[]
int main() {
  int n, m;
  cin >> n >> m;

  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
      cin >> a[i][j];
      b[i][j] =
          b[i][j - 1] + b[i - 1][j] - b[i - 1][j - 1] + a[i][j];  // 求前缀和
    }
  }

  int ans = 1;

  int l = 2;
  while (l <= min(n, m)) {  //判断条件
    for (int i = l; i <= n; i++) {
      for (int j = l; j <= m; j++) {
        if (b[i][j] - b[i - l][j] - b[i][j - l] + b[i - l][j - l] == l * l) {
          ans = max(ans, l);  //在这里统计答案
        }
      }
    }
    l++;
  }

  cout << ans << endl;
  return 0;
}