学习强化学习《Reinforcement Learning An Introduction》，2.3节，做了个Matlab的仿真。

问题描述：the 10-armed bandit problem

这是一个重复做选择的问题。一共有10个选择，重复选择1000次。

每次选择都会有奖励，奖励是符合固定的正态分布的。

所以做不同的选择，获得的奖励不同；每次做的选择，尽管选择相同，但奖励也不同。

你的目的是，连续做了1000次选择后，得到的回报总和越高越好。

这个图是一个特殊的 10-armed bandit problem。特殊之处在于$q_{\star }(a)$的值。

重要：10-armed bandit problem是一个系列问题的总称，每个特殊的10-armed bandit problem之间的不同之处在于$q_{\star }(a)$的值的不同。选择选项$a$后，获得奖励是符合正态分布的$N(q_{\star }(a),1)$。

算法1：$ϵ-greedy$ algorithm

你是不知道$q_{\star }(a)$的具体值的，所以首先要对每个选择的行为值做个估计，因为这个估计值是在不断更新的，所以定义为$Q_t(a)$，意思是在$t$时刻，选择行为$a$后，估计得到的奖励值。

这个算法的大概步骤是：每次选择执行的行为是估计值最大的行为，小概率的情况下，随机选择其他的行为。

算法步骤如下：

1. 初始化：将$Q(a)$全部初始化为$0$；将$N(a)$全部初始化为0；$R^{total}(t)=0$;

2. for t = 1~1000

   1. $A=\arg {\max }_a{Q}_t(a)$ with probability $1-ϵ$;

      $A=$ a random action with probability $ϵ$；

   2. 计算回报$R(t)=bandit(A)=N(q_{\star }(A),1)$；

   3. 计算总回报$R^{total}(t)+=R(t)$;

   4. $N_A+=1$;

   5. $Q(A)=Q(A)+\frac{1}{N(A)}[R-Q(A)]$;

仿真

因为存在不确定性，每次的回报都是服从一个正态分布，所以每次做实验的结果也是不一样的。为了说明问题，我们做2000次仿真实验，每次仿真实验都是，然后取平均值。

对于某一$epsilon $的仿真步骤如下：

1. for i = 1:2000
   1. 初始化$q_{\star }(a)$为$N(0,1)$的分布，由此确定了一个10-armed bandit problem；
   2. 对刚刚特殊化的问题，运行三次$ϵ-greeedy$算法；
      1. for j = 1~3​
         1. $ϵ(j)=0；0.01；0.1$
         2. 运行$ϵ-greeedy$算法
         3. 得出$R_{ij}^{total}(t)$
2. for t = 1:1000
   1. for i = 1:2000
      1. 对$i$求均值${\bar{R}}_j^{total}(t)$;
3. 作图，在一个图中，画出三个${\bar{R}}_j^{total}(t)$与时间的曲线图

最后

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