下三角矩阵线性方程的求解

【1】下三角矩阵线性方程的求解◀

【2】矩阵的LU分解初步：一个对角线上元素非零的方阵

对于一个下三角矩阵矩阵我们可以非常容易地利用消元的方式求解。

线性方程

$$begin{bmatrix}
a_{11} & 0 &. &.  &.  &0 \ 
a_{21} &a_{22}  &.  &.  &.  & 0\ 
 .&  .&  .&  &  & .\ 
 .&  .&  &  .&  & .\ 
 .&  .&  &  &  .&. \ 
 a_{m1}&a_{m2}  &a_{m3}  &.  &.  &a_{mm} 
end{bmatrix}
begin{bmatrix} 
x_{1}\ 
x_{2}\ 
x_{3}\ 
x_{4}\ 
x_{5}\ 
x_{6}end{bmatrix}=
begin{bmatrix}
b_{1}\ 
b_{2}\ 
b_{3}\ 
b_{4}\ 
b_{5}\ 
b_{6}
end{bmatrix}$$

我们将其重写为等式

$$
a_{11}x_{1}=b_{1}\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2}\
a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\
.\
.\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mm}x_{m}=b_{m}\$$

对于第一个等式，我们可以解得(x_{1}=frac{b_{1}}{a_{11}})

对于第二个等式，我们有(x_{2}=frac{b_{2}-a_{21}x_{1}}{a_{22}}，代入x_{1})可以解得(x_{2})

对于第三个等式，我们有(x_{3}=frac{b_{3}-(a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2})}{a_{33}})，代入(x_{1})，(x_{2})可以解得(x_{3})

如此重复以上，我们可以得到一般的递推解$$x_{m}=frac{b_{m}-sum_{i=1}^{m-1}a_{mi}x_{i}}{a_{mm}}$$

利用计算机，我们可以在(O(N^2))的时间内求解，以下给出其核心程序

        VecX[0] = VecB[0] / MatA[0][0];
	for (i = 1; i < Row; i++)
	{
		for (j = 0; j < i; j++)
			sum += MatA[i][j] * VecX[j];
		VecX[i] = (VecB[i] - sum) / MatA[i][i];
		sum = 0;
	}

最后

以上就是粗犷钢笔为你收集整理的下三角矩阵线性方程的求解的全部内容，希望文章能够帮你解决下三角矩阵线性方程的求解所遇到的程序开发问题。

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