概述
SoftMax回归可以用来进行两种以上的分类，很是神奇！实现过程实在有点坎坷，主要是开始写代码的时候理解并不透彻，而且思路不清晰，引以为戒吧！
SoftMax Regression属于指数家族，证明见（ http://cs229.stanford.edu/notes/cs229-notes1.pdf 及http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax_Regression），最后得出的结论是：
最后写出似然估计：
之后采用梯度或牛顿方法进行逼近：
注意，上面公式采用的是批量梯度，随机梯度当然也是可以的。
参数theta的更新如下：
要注意的是，theta[j]是一个向量。
实验还是参考大牛pennyliang（http://blog.csdn.net/pennyliang/article/details/7048291），代码如下：
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <assert.h>
using namespace std;
const int K = 2;//有K+1类
const int M = 9;//训练集大小
const int N = 4;//特征数
double x[M][N]={{1,47,76,24}, //include x0=1
{1,46,77,23},
{1,48,74,22},
{1,34,76,21},
{1,35,75,24},
{1,34,77,25},
{1,55,76,21},
{1,56,74,22},
{1,55,72,22},
};
double y[M]={1,
1,
1,
2,
2,
2,
3,
3,
3,};
double theta[K][N]={
{0.3,0.3,0.01,0.01},
{0.5,0.5,0.01,0.01}}; // include theta0
double h_value[K];//h(x)向量值
//求exp（QT*x）
double fun_eqx(double* x, double* q)
{
double sum = 0;
for (int i = 0; i < N; i++)
{
sum += x[i] * q[i];
}
return pow(2.718281828, sum);
}
//求h向量
void h(double* x)
{
int i;
double sum = 1;//之前假定theta[K+1]={0},所以exp(Q[K+1]T*x)=1
for (i = 0; i < K; i++)
{
h_value[i] = fun_eqx(x, theta[i]);
sum += h_value[i];
}
assert(sum != 0);
for (i = 0; i < K; i++)
{
h_value[i] /= sum;
}
}
void modify_stochostic()
{
//随机梯度下降，训练参数
int i, j, k;
for (j = 0; j < M; j ++)
{
h(x[j]);
for (i = 0; i < K; i++)
{
for (k = 0; k < N; k++)
{
theta[i][k] += 0.001 * x[j][k] *
((y[j] == i+1?1:0) - h_value[i]);
}
}
}
}
void modify_batch()
{
//批量梯度下降，训练参数
int i, j, k ;
for (i = 0; i < K; i++)
{
double sum[N] = {0.0};
for (j = 0; j < M; j++)
{
h(x[j]);
for (k = 0; k < N; k++)
{
sum[k] += x[j][k] * ((y[j] == i+1?1:0) - h_value[i]);
}
}
for (k = 0; k < N; k++)
{
theta[i][k] += 0.001 * sum[k] / N;
}
}
}
void train(void)
{
int i;
for (i = 0; i < 10000; i++)
{
//modify_stochostic();
modify_batch();
}
}
void predict(double* pre)
{
//输出预测向量
int i;
for (i = 0; i < K; i++)
h_value[i] = 0;
train();
h(pre);
for (i = 0; i < K; i++)
cout << h_value[i] << " ";
cout << 1 - h_value[0] - h_value[1] << endl;
}
int main(void)
{
for (int i=0; i < M; i++)
{
predict(x[i]);
}
cout << endl;
double pre[] = {1,20, 80, 50 };
predict(pre);
return 0;
}
stochastic:
0.999504 0.000350044 0.000145502
0.997555 0.00242731 1.72341e-005
0.994635 1.24138e-005 0.00535281
2.59353e-005 0.999974 6.07695e-017
0.00105664 0.998943 -1.09071e-016
4.98481e-005 0.99995 3.45318e-017
0.0018048 1.56509e-012 0.998195
0.000176388 1.90889e-015 0.999824
0.000169041 8.42073e-016 0.999831
batch:
0.993387 0.00371185 0.00290158
0.991547 0.0081696 0.000283336
0.979246 0.000132495 0.0206216
0.000630111 0.99937 4.9303e-014
0.00378715 0.996213 9.37462e-014
0.000299602 0.9997 3.50739e-017
0.00759726 2.60939e-010 0.992403
0.0006897 1.09856e-012 0.99931
0.000545117 5.19157e-013 0.999455
可见随机梯度收敛的更快。
对于预测来说，输出结果每行的三个数表示是：对于输入来说，是1 2 3三类的概率分别是多少。
最后
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