视觉残差函数及雅可比公式推导

【约定符号】：
特征点在相机坐标系下的坐标为$[x,y,z{]}^T$；
特征点在归一化相机坐标系下的坐标为$[\mu ,\nu ,1{]}^T$或$[\mu ,\nu {]}^T$
特征点的这两种坐标之间的关系：
$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\frac{1}{\lambda }\left[\begin{array}{c}\mu \\ \nu \\ 1\end{array}\right]$$
其中，$\lambda =1/z$，称为逆深度。

【定义概念】视觉重投影误差
假设预测的（估计的） 特征点的坐标为$[x,y,z{]}^T$（相机坐标系），观测到的 特征点的坐标为$[\mu ,\nu {]}^T$（归一化相机坐标系），则视觉重投影误差定义为：
$$r_c=\left[\begin{array}{c}\frac{x}{z}-\mu \\ \frac{y}{z}-\nu \end{array}\right]$$
基于以上内容，开始推导。

已知第$i$帧中某特征点的坐标$[{\mu }_i,{\nu }_i{]}^T$（归一化相机坐标系）及逆深度${\lambda }_i$，可以预测该特征点在第$j$帧的相机坐标系下的坐标$[x_{c_j},y_{c_j},z_{c_j}{]}^T$为：
$$\left[\begin{array}{c}{x}_{c_j}\\ y_{c_j}\\ z_{c_j}\\ 1\end{array}\right]=T_{bc}^{-1}{T}_{w{b}_j}^{-1}{T}_{w{b}_i}{T}_{bc}\left[\begin{array}{c}\frac{1}{{\lambda }_{c_i}}\mu \\ \frac{1}{{\lambda }_{c_i}}\nu \\ \frac{1}{{\lambda }_{c_i}}\\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1-1)}$$
【注】关于$T_{w{b}_i}$和$T_{w{b}_j}$，此时我们有一个粗略的值。
同时，该特征点在第$j$帧确实被观测到了，坐标为$[{\mu }_{c_j},{\nu }_{c_j}{]}^T$，则不难构建重投影误差（抄过来）如下：
$$r_c=\left[\begin{array}{c}\frac{x_{c_j}}{z_{c_j}}-{\mu }_{c_j}\\ \frac{y_{c_j}}{z_{c_j}}-{\nu }_{c_j}\end{array}\right]\triangleq \left[\begin{array}{c}{r}_{c1}\\ r_{c2}\end{array}\right]$$
这就是残差函数。
残差函数构成损失函数，在使用LM算法优化过程中，需要使用残差函数的Jacobian矩阵（一阶泰勒展开）$\frac{\partial r_c}{\partial state}=\frac{\partial r_c}{\partial f_{c_j}}\cdot \frac{\partial f_{c_j}}{\partial state}$。【具体详见LM算法】

求残差函数的Jacobian矩阵
首先，明确$r_c$需要对哪些变量求偏导。
共四大部分：1. $i$时刻的位移和姿态，2. $j$时刻的位移和姿态，3. imu和相机的外参，4. 逆深度。

应用链式法则，$\frac{\partial r_c}{\partial state}=\frac{\partial r_c}{\partial f_{c_j}}\cdot \frac{\partial f_{c_j}}{\partial state}$

第一步，先求$\frac{\partial r_c}{\partial f_{c_j}}$得：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial r_c}{\partial f_{c_j}}& =\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial r_{c1}}{\partial x_{c_j}}& \frac{\partial r_{c1}}{\partial y_{c_j}}& \frac{\partial r_{c1}}{\partial z_{c_j}}\\ \frac{\partial r_{c2}}{\partial x_{c_j}}& \frac{\partial r_{c2}}{\partial y_{c_j}}& \frac{\partial r_{c2}}{\partial z_{c_j}}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{z_{c_j}}& 0& -\frac{x_{c_j}}{z_{c_j}^2}\\ 0& \frac{1}{z_{c_j}}& -\frac{y_{c_j}}{z_{c_j}^2}\end{array}\right]\end{array}$$

第二步：求$\frac{\partial f_{c_j}}{\partial state}$。

在开始第二部分的求导之前，对$f_{c_j}$做一些等价变形。
公式（1-1）的等价形式：公式（1-2） 将四维齐次形式改写，拆成三维形式，并做一些符号简化：
$$\begin{array}{rl}{f}_{c_j}& \triangleq \left[\begin{array}{c}{x}_{c_j}\\ y_{c_j}\\ z_{c_j}\end{array}\right]\\ & =R_{bc}^T{R}_{w{b}_j}^T{R}_{w{b}_i}{R}_{bc}\frac{1}{{\lambda }_{c_i}}\left[\begin{array}{c}{\mu }_{c_j}\\ {\nu }_{c_i}\\ 1\end{array}\right]\\ & +R_{bc}^T(R_{w{b}_j}^T((R_{w{b}_i}{p}_{bc}+p_{w{b}_i})-p_{w{b}_j})-p_{bc})\end{array}\text{\hspace{1em}(1-2)}$$

$$\begin{array}{rl}{f}_{b_i}& \triangleq R_{bc}{f}_{c_i}+p_{bc}\\ f_w& \triangleq R_{w{b}_i}{f}_{b_i}+p_{w{b}_i}\\ f_{b_j}& \triangleq R_{w{b}_j}^T(f_w-p_{w{b}_j})\\ f_{c_j}& \triangleq R_{bc}^T(f_{b_j}-p_{bc})\end{array}$$
不难看出，上面四个式子依次给出了特征点在$c_i,b_i,w,b_j,c_j$坐标系下的坐标。将四个式子依次从上到下代入，展开即可得到公式（1-2）的结果。

问： $p_{w{c}_j}$与$f_{c_j}$含义相同吗？
答：不相同，$f_{c_j}$表示特征点在$c_j$相机坐标系下的坐标；
$p_{w{c}_j}$表示相机$c_j$在世界坐标系下的坐标！

已知公式（1-2）：
$$\begin{array}{rl}{f}_{c_j}& =R_{bc}^T{R}_{w{b}_j}^T{R}_{w{b}_i}{R}_{bc}{f}_{c_i}\\ & +R_{bc}^T(R_{w{b}_j}^T((R_{w{b}_i}{p}_{bc}+p_{w{b}_i})-p_{w{b}_j})-p_{bc})\end{array}$$
1.1 $i$时刻的位移：
即$p_{w{b}_i}:=p_{w{b}_i}+\delta p_{b_i{b}_i^{\prime }}$，不难写出：
$$\frac{\partial f_{c_j}}{\partial \delta p_{b_i{b}_i^{\prime }}}=R_{bc}^T{R}_{w{b}_j}^T$$

1.2 $i$时刻的姿态：
即$R_{w{b}_i}:=R_{w{b}_i}(I+[\delta {\theta }_{b_i{b}_i^{\prime }}{]}_{\times })$
$f_{c_j}$中与$R_{w{b}_i}$有关的项有两部分，可合成简化为：
$$\begin{array}{rl}{f}_{c_j}& =R_{bc}^T{R}_{w{b}_j}^T{R}_{w{b}_i}{R}_{bc}{f}_{c_i}+R_{bc}^T{R}_{w{b}_j}^T{R}_{w{b}_i}{p}_{bc}+(...)\\ & =R_{bc}^T{R}_{w{b}_j}^T{R}_{w{b}_i}{f}_{b_i}+(...)\end{array}$$
则：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f_{c_j}}{\partial \delta {\theta }_{b_i{b}_i^{\prime }}}& =\frac{R_{bc}^T{R}_{w{b}_j}^T{R}_{w{b}_i}(I+[\delta {\theta }_{b_i{b}_i^{\prime }}{]}_{\times })f_{b_i}}{\delta {\theta }_{b_i{b}_i^{\prime }}}\\ & =-R_{bc}^T{R}_{w{b}_j}^T{R}_{w{b}_i}[f_{b_i}{]}_{\times }\end{array}$$
【注】这里有一个写法上的简化。

2.1 $j$时刻的位移：
即$p_{w{b}_j}:=p_{w{b}_j}+\delta p_{b_j{b}_j^{\prime }}$，不难写出：
$$\frac{\partial f_{c_j}}{\partial \delta p_{b_j{b}_j^{\prime }}}=-R_{bc}^T{R}_{w{b}_j}^T$$

2.2 $j$时刻的姿态：
即$R_{w{b}_j}:=R_{w{b}_j}(I+[\delta {\theta }_{b_j{b}_j^{\prime }}{]}_{\times })$
$f_{c_j}$中与$R_{w{b}_j}$有关的项有两部分，可合成简化为：
$$\begin{array}{rl}{f}_{c_j}& =R_{bc}^T{R}_{w{b}_j}^T{R}_{w{b}_i}{R}_{bc}{f}_{c_i}\\ & +R_{bc}^T(R_{w{b}_j}^T((R_{w{b}_i}{p}_{bc}+p_{w{b}_i})-p_{w{b}_j})-p_{bc})\\ & =R_{bc}^T{R}_{w{b}_j}^T(R_{w{b}_i}(R_{bc}{f}_{c_i}+p_{bc})+p_{w{b}_i}-p_{w{b}_j})+(...)\\ & =R_{bc}^T{R}_{w{b}_j}^T(f_w-p_{w{b}_j})+(...)\end{array}$$
则：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f_{c_j}}{\partial \delta {\theta }_{b_j{b}_j^{\prime }}}& =\frac{R_{bc}^T[R_{w{b}_j}(I+[\delta {\theta }_{b_j{b}_j^{\prime }}{]}_{\times }){]}^T(f_w-p_{w{b}_j})}{\delta {\theta }_{b_j{b}_j^{\prime }}}\\ & =\frac{R_{bc}^T(I-[\delta {\theta }_{b_j{b}_j^{\prime }}{]}_{\times })R_{w{b}_j}^T(f_w-p_{w{b}_j})}{\delta {\theta }_{b_j{b}_j^{\prime }}}\\ & =\frac{R_{bc}^T(I-[\delta {\theta }_{b_j{b}_j^{\prime }}{]}_{\times })f_{b_j}}{\delta {\theta }_{b_j{b}_j^{\prime }}}\\ & =R_{bc}^T[f_{b_j}{]}_{\times }\end{array}$$

3.1 imu和相机之间外参中的位移：
即$p_{bc}:=p_{bc}+\delta p_{c{c}^{\prime }}$，不难写出：
$$\frac{\partial f_{c_j}}{\partial \delta p_{c{c}^{\prime }}}=R_{bc}^T(R_{w{b}_j}^T{R}_{w{b}_j}^T-I_{3\times 3})$$
3.2 imu和相机之间外参中的姿态：
即$R_{bc}:=R_{bc}(I+[\delta {\theta }_{c{c}^{\prime }}{]}_{\times })$
$f_{c_j}$中与$R_{c{c}^{\prime }}$有关的项有两部分，且不容易简化，故分为两部分求解：
第一部分：
$$f_{c_j}^{[1]}\triangleq R_{bc}^T{R}_{w{b}_j}^T{R}_{w{b}_i}{R}_{bc}{f}_{c_i}$$
则：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f_{c_j}^{[1]}}{\partial \delta {\theta }_{c{c}^{\prime }}}& =\frac{(I-[\delta {\theta }_{c{c}^{\prime }}{]}_{\times })R_{bc}^T{R}_{w{b}_j}^T{R}_{w{b}_i}{R}_{bc}(I+[\delta {\theta }_{c{c}^{\prime }}{]}_{\times })f_{c_i}}{\delta {\theta }_{c{c}^{\prime }}}\\ & \approx \frac{-[\delta {\theta }_{c{c}^{\prime }}{]}_{\times }{R}_{bc}^T{R}_{w{b}_j}^T{R}_{w{b}_i}{R}_{bc}{f}_{c_i}+R_{bc}^T{R}_{w{b}_j}^T{R}_{w{b}_i}{R}_{bc}[\delta {\theta }_{c{c}^{\prime }}{]}_{\times }{f}_{c_i}}{\delta {\theta }_{c{c}^{\prime }}}\\ & =[R_{bc}^T{R}_{w{b}_j}^T{R}_{w{b}_i}{R}_{bc}{f}_{c_i}{]}_{\times }-R_{bc}^T{R}_{w{b}_j}^T{R}_{w{b}_i}{R}_{bc}[f_{c_i}{]}_{\times }\end{array}$$
第二部分：
$$f_{c_j}^{[2]}=R_{bc}^T(R_{w{b}_j}^T((R_{w{b}_i}{p}_{bc}+p_{w{b}_i})-p_{w{b}_j})-p_{bc})$$
则：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f_{c_j}^{[2]}}{\partial \delta {\theta }_{c{c}^{\prime }}}& =\frac{(I-[\delta {\theta }_{c{c}^{\prime }}{]}_{\times })R_{bc}^T(R_{w{b}_j}^T((R_{w{b}_i}{p}_{bc}+p_{w{b}_i})-p_{w{b}_j})-p_{bc})}{\delta {\theta }_{c{c}^{\prime }}}\\ & =[R_{bc}^T(R_{w{b}_j}^T((R_{w{b}_i}{p}_{bc}+p_{w{b}_i})-p_{w{b}_j})-p_{bc}){]}_{\times }\end{array}$$
两部分相加，即$\frac{\partial f_{c_j}}{\partial \delta {\theta }_{c{c}^{\prime }}}=\frac{\partial f_{c_j}^{[1]}}{\partial \delta {\theta }_{c{c}^{\prime }}}+\frac{\partial f_{c_j}^{[2]}}{\partial \delta {\theta }_{c{c}^{\prime }}}$

4.逆深度：
即${\lambda }_{c_i}:={\lambda }_{c_i}+\delta {\lambda }_{c_i}$，$f_{c_j}$中仅$f_{c_i}$与${\lambda }_{c_i}$有关，链式法则$\frac{\partial f_{c_j}}{\partial \delta {\lambda }_{c_i}}=\frac{\partial f_{c_j}}{\partial \delta f_{c_i}}\cdot \frac{\partial f_{c_i}}{\partial \delta {\lambda }_{c_i}}$：
其中，
$$f_{c_j}=R_{bc}^T{R}_{w{b}_j}^T{R}_{w{b}_i}{R}_{bc}{f}_{c_i}$$
则：
$$\frac{\partial f_{c_j}}{\partial \delta f_{c_i}}=R_{bc}^T{R}_{w{b}_j}^T{R}_{w{b}_i}{R}_{bc}$$
又有，
$$f_{c_i}=\frac{1}{{\lambda }_{c_i}}\left[\begin{array}{c}{\mu }_{c_j}\\ {\nu }_{c_i}\\ 1\end{array}\right]$$
则：
$$\frac{\partial f_{c_i}}{\partial \delta {\lambda }_{c_i}}=-\frac{1}{{\lambda }_{c_i}^2}\left[\begin{array}{c}{\mu }_{c_j}\\ {\nu }_{c_i}\\ 1\end{array}\right]=-\frac{1}{{\lambda }_{c_i}}{f}_{c_i}$$
至此，推导完成！

最后

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