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循环冗余校验 CRC的算法分析和程序实现

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循环冗余校验 CRC的算法分析和程序实现

西南交通大学计算机与通信工程学院 刘东

摘要 通信的目的是要把信息及时可靠地传送给对方，因此要求一个通信系统传输消息必须可靠与快速，在数字通信系统中可靠与快速往往是一对矛盾。为了解决可靠性，通信系统都采用了差错控制。本文详细介绍了循环冗余校验CRC(Cyclic Redundancy Check)的差错制原理及其算法实现。

关键字 通信 循环冗余校验 CRC-32 CRC-16 CRC-4

概述

在数字通信系统中可靠与快速往往是一对矛盾。若要求快速，则必然使得每个数据码元所占地时间缩短、波形变窄、能量减少，从而在受到干扰后产生错误地可能性增加，传送信息地可靠性下降。若是要求可靠，则使得传送消息地速率变慢。因此，如何合理地解决可靠性也速度这一对矛盾，是正确设计一个通信系统地关键问题之一。为保证传输过程的正确性，需要对通信过程进行差错控制。差错控制最常用的方法是自动请求重发方式(ARQ)、向前纠错方式(FEC)和混合纠错(HEC)。在传输过程误码率比较低时，用FEC方式比较理想。在传输过程误码率较高时，采用FEC容易出现“乱纠”现象。HEC方式则式ARQ和FEC的结合。在许多数字通信中，广泛采用ARQ方式，此时的差错控制只需要检错功能。实现检错功能的差错控制方法很多，传统的有：奇偶校验、校验和检测、重复码校验、恒比码校验、行列冗余码校验等，这些方法都是增加数据的冗余量，将校验码和数据一起发送到接受端。接受端对接受到的数据进行相同校验，再将得到的校验码和接受到的校验码比较，如果二者一致则认为传输正确。但这些方法都有各自的缺点，误判的概率比较高。

循环冗余校验CRC(Cyclic Redundancy Check)是由分组线性码的分支而来，其主要应用是二元码组。编码简单且误判概率很低，在通信系统中得到了广泛的应用。下面重点介绍了CRC校验的原理及其 算法实现。

一、 循环冗余校验码(CRC)

二、 CRC校验采用多项式编码方法。被处理的数据块可以看作是一个n阶的二进制多项式，由 。如一个8位二进制数10110101可以表示为： 。多项式乘除法运算过程与普通代数多项式的乘除法相同。多项式的加减法运算以2为模，加减时不进，错位，和逻辑异或运算一致。

采用CRC校验时，发送方和接收方用同一个生成多项式g(x),并且g(x)的首位和最后一位的系数必须为1。CRC的处理方法是：发送方以g(x)去除t(x)，得到余数作为CRC校验码。校验时，以计算的校正结果是否为0为据，判断数据帧是否出错。CRC校验可以100％地检测出所有奇数个随机错误和长度小于等于k(k为g(x)的阶数)的突发错误。所以CRC的生成多项式的阶数越高，那么误判的概率就越小。CCITT建议：2048 kbit/s的PCM基群设备采用CRC-4方案，使用的CRC校验码生成多项式g(x)= 。采用16位CRC校验，可以保证在 bit码元中只含有一位未被检测出的错误 。在IBM的同步数据链路控制规程SDLC的帧校验序列FCS中，使用CRC-16，其生成多项式g(x)= ；而在CCITT推荐的高级数据链路控制规程HDLC的帧校验序列FCS中，使用CCITT-16，其生成多项式g(x)= 。CRC-32的生成多项式g(x)= 。CRC-32出错的概率比CRC-16低 倍 。由于CRC-32的可靠性，把CRC-32用于重要数据传输十分合适，所以在通信、计算机等领域运用十分广泛。在一些UART通信控制芯片(如MC6582、Intel8273和Z80-SIO)内，都采用了CRC校验码进行差错控制；以太网卡芯片、MPEG解码芯片中，也采用CRC-32进行差错控制。

三、 CRC校验码的算法分析

CRC校验码的编码方法是用待发送的二进制数据t(x)除以生成多项式g(x)，将最后的余数作为CRC校验码。其实现步骤如下：

(1) 设待发送的数据块是m位的二进制多项式t(x)，

(2) 生成多项式为r阶的g(x)。在数据块的末尾添加r个0，

(3) 数据块的长度增加到m r位，

(4) 对应的二进制多项式为 。

(5) 用生成多项式g(x)去除 ，

(6) 求得余数为阶数为r-1的二进制多项式y(x)。此二进制多项式y(x)就是t(x)经过生成多项式g(x)编码的CRC校验码。

(7) 用 以模2的方式减去y(x)，

(8) 得到二进制多项式 。 就是包含了CRC校验码的待发送字符串。

从CRC的编码规则可以看出，CRC编码实际上是将代发送的m位二进制多项式t(x)转换成了可以被g(x)除尽的m r位二进制多项式 ，所以解码时可以用接受到的数据去除g(x)，如果余数位零，则表示传输过程没有错误；如果余数不为零，则在传输过程中肯定存在错误。许多CRC的硬件解码电路就是按这种方式进行检错的。同时 可以看做是由t(x)和CRC校验码的组合，所以解码时将接收到的二进制数据去掉尾部的r位数据，得到的就是原始数据。

为了更清楚的了解CRC校验码的编码过程，下面用一个简单的例子来说明CRC校验码的编码过程。由于CRC-32、CRC-16、CCITT和CRC-4的编码过程基本一致，只有位数和生成多项式不一样。为了叙述简单，用一个CRC-4编码的例子来说明CRC的编码过程。

设待发送的数据t(x)为12位的二进制数据100100011100；CRC-4的生成多项式为g(x)= ，阶数r为4，即10011。首先在t(x)的末尾添加4个0构成 ，数据块就成了1001000111000000。然后用g(x)去除 ，不用管商是多少，只需要求得余数y(x)。下表为给出了除法过程。

除数次数 被除数/ g(x)/结果 余数

0 1 001000111000000 100111000000

1 0011

0 000100111000000

1 1 00111000000 1000000

1 0011

0 00001000000

2 1 000000 1100

1 0011

0 001100

从上面表中可以看出，CRC编码实际上是一个循环移位的模2运算。对CRC-4，我们假设有一个5 bits的寄存器，通过反复的移位和进行CRC的除法，那么最终该寄存器中的值去掉最高一位就是我们所要求的余数。所以可以将上述步骤用下面的流程描述：

//reg是一个5 bits的寄存器

把reg中的值置0.

把原始的数据后添加r个0.

While (数据未处理完)

Begin

If (reg首位是1)

reg = reg XOR 0011.

把reg中的值左移一位，读入一个新的数据并置于register的0 bit的位置。

End

reg的后四位就是我们所要求的余数。

这种算法简单，容易实现，对任意长度生成多项式的G(x)都适用。在发送的数据不长的情况下可以使用。但是如果发送的数据块很长的话，这种方法就不太适合了。它一次只能处理一位数据，效率太低。为了提高处理效率，可以一次处理4位、8位、16位、32位。由于处理器的结构基本上都支持8位数据的处理，所以一次处理8位比较合适。

为了对优化后的算法有一种直观的了解，先将上面的算法换个角度理解一下。在上面例子中，可以将编码过程看作如下过程：

由于最后只需要余数，所以我们只看后四位。构造一个四位的寄存器reg，初值为0，数据依次移入reg0(reg的0位)，同时reg3的数据移出reg。有上面的算法可以知道，只有当移出的数据为1时，reg才和g(x)进行XOR运算；移出的数据为0时，reg不与g(x)进行XOR运算，相当与和0000进行XOR运算。就是说，reg和什么样的数据进行XOR移出的数据决定。由于只有一个bit，所以有 种选择。上述算法可以描述如下，

//reg是一个4 bits的寄存器

初始化t[]={0011,0000}

把reg中的值置0.

把原始的数据后添加r个0.

While (数据未处理完)

Begin

把reg中的值左移一位，读入一个新的数据并置于register的0 bit的位置。

reg = reg XOR t[移出的位]

End

上面算法是以bit为单位进行处理的，可以将上述算法扩展到8位，即以Byte为单位进行处理，即CRC-32。构造一个四个Byte的寄存器reg，初值为0x00000000，数据依次移入reg0(reg的0字节，以下类似)，同时reg3的数据移出reg。用上面的算法类推可知，移出的数据字节决定reg和什么样的数据进行XOR。由于有8个bit，所以有 种选择。上述算法可以描述如下：

//reg是一个4 Byte的寄存器

初始化t[]＝{…}//共有 ＝256项

把reg中的值置0.

把原始的数据后添加r/8个0字节.

While (数据未处理完)

Begin

把reg中的值左移一个字节，读入一个新的字节并置于reg的第0个byte的位置。

reg = reg XOR t[移出的字节]

End

算法的依据和多项式除法性质有关。如果一个m位的多项式t(x)除以一个r阶的生成多项式g(x)， ，将每一位 (0=> 24) & 0xFF; //要移出的字节的值

oldcrc=crc_32_tab[t]; //根据移出的字节的值查表

c=DataBuf[charcnt]; //新移进来的字节值

oldcrc32= (oldcrc32 << 8) | c; //将新移进来的字节值添在寄存器末字节中

oldcrc32=oldcrc32^oldcrc; //将寄存器与查出的值进行xor运算

charcnt ;

}

crc32=oldcrc32;

return crc32;

}

参数表可以先在PC机上算出来，也可在程序初始化时完成。下面是用于计算参数表的c语言子程序，在Visual C 6.0下编译通过。

#include unsigned long int crc32_table[256];

unsigned long int ulPolynomial = 0x04c11db7;

unsigned long int Reflect(unsigned long int ref, char ch)

{ unsigned long int value(0);

// 交换bit0和bit7，bit1和bit6，类推

for(int i = 1; i < (ch 1); i )

{ if(ref & 1)

value |= 1 << (ch - i);

ref >>= 1; }

return value;

}

init_crc32_table()

{ unsigned long int crc,temp;

// 256个值

for(int i = 0; i <= 0xFF; i )

{ temp=Reflect(i, 8);

crc32_table= temp<< 24;

for (int j = 0; j < 8; j ){

unsigned long int t1,t2;

unsigned long int flag=crc32_table&0x80000000;

t1=(crc32_table << 1);

if(flag==0)

t2=0;

else

t2=ulPolynomial;

crc32_table =t1^t2 ; }

crc=crc32_table;

crc32_table = Reflect(crc32_table, 32);

}

}

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