同余模定理

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同余模定理

定义

所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数 d 去除，有相同的余数。d 数学上的称谓为模。如 a = 6, b = 1, d = 5, 则我们说 a 和 b 是模 d 同余的。因为他们都有相同的余数 1 。

数学上的记法为：
a≡ b(mod d)

可以看出当 n < d 的时候,所有的 n 都对 d 同商，比如时钟上的小时数，都小于 12，所以小时数都是模 12 的同余.对于同余有三种说法都是等价的,分别为:
(1) a 和 b 是模 d 同余的.
(2) 存在某个整数 n ,使得 a = b + nd .
(3) d 整除 a - b .
可以通过换算得出上面三个说话都是正确而且是等价的.

定律

同余公式也有许多我们常见的定律，比如相等律，结合律，交换律，传递律….如下面的表示:
1) a≡a(mod d)
2) a≡b(mod d)→b≡a(mod d)
3) (a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)

如果a≡x(mod d),b≡m(mod d),则
4) a+b≡x+m （mod d）
5) a-b≡x-m(mod d)
6) a*b≡x*m(mod d )

应用

(a+b)%c=(a%c+b%c)%c;
(a*b)%c=(a%c*b%c)%c;

对于大数的求余，联想到进制转换时的方法，得到

举例如下，设大数 m=1234, 模 n

就等于
((((1 * 10) % n + 2 % n) % n * 10 % n + 3 % n) % n * 10 % n + 4 % n) % n

大数求余的简单模板：

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#include <stdio.h> //大数求余，其中 n(除数）不是大数 
char a[1000];
int main() {
    int i, j, k, m, n;
    while(~scanf("%s%d", a, &n)) {
        m = 0;
        for(i = 0; a[i] != ''; i++)
            m = ((m * 10) % n + (a[i] - '0') % n) % n;
        printf("%dn", m);
    }
    return 0;
}

最后

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