总体与样本的理解

对于这个不部分的理解总是有一些不确定，所以运用起来除了记公式，套模型，几乎不能够引申理解。

看了一遍最基本的定义，发现非常的简洁易懂。摘录+理解如下。

在概率论章节，我们对一个变量的分布模型是已经知道的，带着这个模型再去研究或者说计算相应的性质，数字特征等。

但是在数理统计这部分，事情的切入角度是不一样的：研究的随机变量分布是不知道的，但是我们常常需要通过一些手段来推断这个随机变量的分布。这个手段是：多次独立重复的观察，得到一些观察值。根据这些观察值，我们就可以对此变量的分布做一个合理的推断。

首先看我们需要研究什么。比如想调查某校的学生身高，身高这个数量指标就是研究对象。全校学生的身高值是随机变量，不妨设为X，变量对应有取值范围，这里的范围就是全校学生的身高取值。X就是总体，也称之为总体X。特别强调总体X是一个随机变量，表达的是所有的取值。总体又分为有限整体还有无限整体。研究一个学校学生的身高，自然是有限整体。如果对象是全国正在使用的某种型号灯的寿命，观察值个数很多，可以认为是无限整体。

总体的分布是未知的，它具有某种形式是可以建模的，其次，模型中含有着未知参数，这个参数将通过抽样的方式做出推断。

被抽出的部分个体就叫做总体的一个样本。

从整体抽出一个个体，就是对总体X进行一次观察并记录结果。在相同条件下对总体进行n次独立重复观察。将n次观察结果按照试验顺序记为$X_1,X_2,..,X_n$。它们是相互独立的，且都是与X具有相同分布的随机变量。$X_1,X_2,..,X_n$称之为来自总体X的一个简单随机样本。

特别需要理解的是：样本中的每一个取值我们也视作随机变量，因为抽样的随机性，因此每一个个体都是对总体的反应，所以和总体X是平级的，比如总体X的取值范围，在每一个个体上，取值范围也是相同的。

对于抽取的样本，可以具体得到观察值$x_1,x_2,...,x_n$,称之为样本值。

抽取过程还分为有放回和无放回抽样。放回抽样用起来不方便，因此近似用不放回抽样代替。当然无限总体二者没有差别，谈不上近似。

严格定义：设X是具有分布函数F的随机变量，若$X_1,X_2,..,X_n$是具有同一分布函数F，相互独立的随机变量，则称$X_1,X_2,..,X_n$是从分布函数F(或称总体F，或者总体X)得到的容量为n的简单随机样本，简称样本。观察值$x_1,x_2,...,x_n$称为样本值，也成为X的n个独立的观察值。

则：$F^*(x_1,x_2,...,x_n) = prod_{i=1}^nF(x_i)$

若X具有概率密度$f$，则：

$f^*(x_1,x_2,...,x_n) = prod_{i=1}^nf(x_i)$

举一个例子：设总体X的概率密度是

$$f(x) = begin{cases}2x, &0 < x < 1, \ 0,&其他 \ end{cases}$$

来自总体X的样本为$X_1,X_2,X_3,X_4$,则$X_{(4)} = max(X_1,X_2,X_3,X_4)$的概率密度$f_{X_{(4)}}(x) = ?$

分析：从概率分布角度看更容易解释。

$$F({X_{(4)}}(x)) = P({X_{(4)}} leq x) = \ P(max(X_1,X_2,X_3,X_4) leq x) = \ P(X_1leq x,X_2leq x,X_3leq x,X_4leq x) = [F(x)]^4$$

而

$$F(x) = begin{cases} 0, &x < 0, \ x^2, &0 leq x < 1, \ 1,&其他end{cases}$$

从而$f_{X_{(4)}}(x) = ,$

$$f_{X_{(4)}}(x) = begin{cases} 8x^7, &0 < x < 1\ \ 0,&其他end{cases}$$

最后

以上就是认真紫菜为你收集整理的总体与样本的理解的全部内容，希望文章能够帮你解决总体与样本的理解所遇到的程序开发问题。

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