算法之递归回溯（一）

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我是靠谱客的博主曾经鼠标，这篇文章主要介绍算法之递归回溯（一），现在分享给大家，希望可以做个参考。

在介绍递归算法时，递归发挥了两个作用，一个是递，另一个是归。递的意思是不断向下延伸，归的意思是返回上一个步骤。这两个操作为我们提供了无限的可能。其中最重要的一个应用就是尝试。关于尝试的概念，使用迷宫是好理解的。当我们身处一个迷宫中，我们可以做的事只有一个，不断的尝试，并在尝试过的位置做好标记。走过的路，我们不会再重复进行，这让我们可以快速通过迷宫。
递归回溯的功能正如身处迷宫中的我们——不断尝试，并对走过的路进行标记。我们以一个简单的实例来说明问题。

小明跳楼梯，小明每次可以跳1格或2格。问小明跳n阶楼梯一共有多少种，并且每一种是如何跳的呢？

对于一共有多少种这个问题，我们已经解答过了，它符合斐波那契数列。我们可以很快地写出代码。但对于每一种如何跳的？对于现在的我们来说，是棘手的。但递归给我们提供了思路。
我们了解一点，小明跳楼梯，每次要么跳1格，要么2格。总有一种他会选择。这是我们需要使用到的地方。我们如何使用呢？我们尝试！我们假设他跳1格，那么这一次跳过1格，下一次就是针对剩下的楼梯n-1跳了。这时，他仍然可以选择跳1格或2格。每次他都可以。那么我们可以使用一个循环，让他把每一种跳法都跳一遍好了。也就是说，第一次跳的时候，我们先让他跳1格，一直跳到最高层n阶。然后在把最后一次跳的楼梯数变成2格，就这样一遍一遍地尝试。最终给出我们的结果。对于结果，我们可以存放在一个全局变量的数组中。这是可行的。我们在这里使用伪代码简单描述一下过程。

//这是伪代码
int arr[100] = {};	//用来存放每一次的跳法。跳1格或跳2格，其中保存1或者2
//定义一个递归函数
//n 表示现在小明需要跳的楼梯总数为n
//index 用来存放第index次跳楼梯的方式	index 从1开始
void f(int n, int index)
{
if(n < 0)
return;
//楼梯数不能为负数，负数情况直接排除
if(n == 0)	//小明跳的楼梯数为0，说明没有楼梯跳或者已经跳到最高层了
{//直接结束，结束之前可以输出跳的过程
//输出过程
for(int i = 1; i < index; ++i)
cout << arr[i] << " ";	//从第一次跳，到index 前一次跳的楼梯数
cout << endl;
return;	//没有楼梯数跳的话，直接结束程序
}
//我们并不知道小明这次跳1格还是2格，那么我们将1格或2格都试一遍
for(int i = 1; i <= 2; ++i)
{
arr[index] = i;	//保存小明跳楼梯的方式
//小明这次跳了i格，那么只剩下n-i格楼梯了
//下一次跳的情况保存在index + 1的位置
f(n - i, index + 1);
}
}
int main()
{
f(3, 1);	//假设楼梯数为3, 1 为第一次跳
}

已经使用程序描述清楚了，但程序具体的细节我们并不了解。这是不利的。我们尝试进行分析。

1、主函数中调用 f(3,1)。楼梯数为 3，第 1次跳楼梯。很显然， n的值为 3，并不为 0。因此，程序会直接进入 for循环。循环语句的 i开始初始化， i的值为 1。也就是说第 1次跳的是 1格。我们将 1格存放进 arr[index]的位置， index此时也为 1，我们得到 arr[1]=1。接下来程序会进入递归 f(3-1,2)。

2、很显然， n此时是 2并不等于 0，程序会继续进入循环。循环中的 i被重新定义。 i的值为 1。也就是说，小明第 2次也跳了 1格。我们将 1存放进 arr[2]的位置。接着再次进入循环。 f(2-1,3)被调用。

3、 2-1的结果也没有得到 0。程序会继续进入循环。然而，循环还是从 1开始的。因此，和之前一样，程序会将 1保存到 arr[3]的位置，并再次以 f(1-1,4)的形式进入下一次函数调用。

4、终于在这一次， n的值变成了 0。程序开始输出 arr中的内容，我们知道小明实际跳的次数是 3次，而 index是数字 4，我们在循环中使用小于 index来表示没有取到 4。输出结束之后，程序执行 return表明程序结束。

5、程序结束表明 f(1-1,4)的函数调用结束了。但这个函数处于一个循环中，循环的 i此时值为 1。下一次循环会照常进行， i的值为 2。执行下面这行语句 arr[index] = i，这句写出来是有原因的。我们需要注意此时 index的值。这个循环处于 f(2-1,3这个函数中，因此 index的值为 3。所以赋值语句的具体表达是 arr[3] = 2。程序执行下一句，调用 f(1-2,4)。

6、进入这个函数之后，程序就会发现， n的值为 -1，小于 0，程序直接结束，而什么也不做。它没办法做任何事情，他跳楼梯不能跳负数格的。

7、那么 f(1-2,4)的函数快速结束。而这个函数所处的循环也到头了。 i等于 3时，循环跳出。这也就意味着 f(2-1,3)这个函数的结束。我们需要了解到的是， f(2-1,3)这个函数是在 f(3-1,2)这个函数中调用的。因此，程序会回到 f(3-1,2)这个函数的循环中。此时 i的值还是 1，下一次循环， i的值将变成 2。 arr[index] = i会正常保存 2这个数字，并作为小明这次跳楼梯的格数。进行下一步， f(2-2,3)的函数调用开始了。

8、 n的值为 0。程序会输出结果。

程序按照这样的步骤一步一步进行着，直到最开始的那个循环也结束。这样函数就完成它的使命。这是给出跳楼梯跳法的程序，那么既然每一次如何跳的都已经知晓了，那么可以直接通过这个代码获得有多少种吗？当然是没问题的。我们只需要添加一个全局变量。当n的值为0时，也就是一种跳法完成了，我们也就可以将跳法增加1了。具体的代码描述如下：

int arr[100] = {};
int cnt = 0;
void f(int n, int index)
{
if(n < 0)
return;
if(n == 0)
{
++cnt;	//此时，跳法的数量增加1
for(int i = 1; i < index; ++i)
cout << arr[i] << " ";
cout << endl;
return;
}
for(int i = 1; i <= 2; ++i)
{
arr[index] = i;
f(n - i, index + 1);
}
}

从程序结果我们可以了解到，当小明跳3阶楼梯时，有一种方式是先跳1格，然后在跳2格。还有一种是先跳2格，再跳1格。如果我们把先跳1格，再跳2格的方式记作1+2，把先跳2格，再跳1格的方式记作2+1，并规定这两种方式为一种时，一共有多种跳法呢？
我们知道，楼梯数为3时，按照没有规定时的状态来看，答案为3种，分别为1+1+1，1+2，2+1。当按照规定时，变成2种，也就是1+1+1和1+2，当然你也可以看做1+1+1和2+1这两种。这是可以的。为了方便表达，我们常常按照从小到大排列查看，这样有利于找到对应的规律。
那么，3阶楼梯的跳法有2种，分别为1+1+1和1+2。4阶楼梯不按规定查看的话是5种，分别是1+1+1+1，1+1+2，1+2+1，2+1+1，2+2。按照规定来看的话是3种，分别是1+1+1+1，1+1+2，2+2。从这两种情况来看，我们保证的是前一次跳的楼梯数需要小于或等于后一次的楼梯数，但至少需要跳1格，至多只能跳2格。因此，我们可以将程序简单修改一下。

int arr[100] = {};
int cnt = 0;
void f(int n, int index)
{
if(n < 0)
return;
if(n == 0)
{
++cnt;	//此时，跳法的数量增加1
for(int i = 1; i < index; ++i)
cout << arr[i] << " ";
cout << endl;
return;
}
//i 的值需要从前一个跳法中得到
//第一次跳时，需要确保从1格开始跳，因此需要保证arr[index - 1] = 1;
//第一次跳时，index = 1
//也就是说，arr[1 - 1] = 1;
for(int i = arr[index - 1]; i <= 2; ++i)
{
arr[index] = i;
f(n - i, index + 1);
}
}
int main()
{
arr[0] = 1;	//保证第一次跳的时候从1格开始
f(5,1);
//假设跳的楼梯数为5
cout << cnt << endl;	//输出种类
}