问题描述

​ 一个无向图 $G=(V，E)$ ，$V$ 是点集，$E$ 是边集。取 $V$ 的一个子集 $U$ ，若对于 $U$ 中任意两个点 $u$ 和$v$，有边

$(u,v)\in E$，那么称 $U$是 $G$的一个完全子图。 $U$ 是一个团当且仅当$U$ 不被包含在一个更大的完全子图中。

$G$的最大团指的是定点数最多的一个团。

图例：

125
235
145
都是满足条件的最大团。

但是1235就不是，因为1，3之间没有边，不满足条件。

解决方法

使用回溯法解决最大团问题，本文提供两种方法，一种是递归写法，一种是非递归写法。时间复杂度均为$O(2^n)$

递归回溯（递归）

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
#define N 100
int bestn;
int n;
int node[N];
int x[N];
int a[N][N];
int cn;
void back(int k){//已经到达第k个节点 
	if(k>n){
		for(int i = 1;i<=n;i++)
			node[i] = x[i];
		bestn = cn; 
		return;
	}
	int flag = 1;
	for(int i = 1;i<k;i++){
		if(x[i] ==  1&&!a[k][i]){//检查是否可以加入最大团中 
			flag = 0; 
			break;
		}
	}
	if(flag){//可以加入，加入当前节点（进入左子树） 
		x[k] = 1;
		cn++;
		back(k+1);//递归下一个节点 
		cn--;
	}
	else if(cn+n-k>bestn){//进入右子树，判断条件判断当前最好情况下是否比bestn大 
		x[k] = 0;//不选择当前节点 
		back(k+1);//进入下一个节点 
	}
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i = 1;i<=n;i++){
		for(int j = 1;j<=n;j++){
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	back(1);
	cout<<"选择的最大团为： "; 
	for(int i = 1;i<=n;i++){
		if(node[i]){
			cout<<i<<" ";
		}
	}
	cout<<endl;
	cout<<"节点个数为: "<<bestn; 
	return 0;
}

解释：

示意图、邻接矩阵和解空间树如上图。

递归过程的示意图如图。

迭代回溯（非递归）

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
#define N 100
int bestn;
int n;
int node[N];
int x[N];
int a[N][N];
int cn;
int back(){
	int k = 1;	
while(1){
	int flag = 1;
	while(k<=n&&flag){
		for(int i = 1;i<k;i++){
			if(x[i] ==  1&&!a[k][i]){//检查是否可以加入最大团中 
				flag = 0; 
				break;
			}
		}
		if(flag){
			x[k] = 1;
			cn++;
			k++;
		}	
	}
	if(k>n){
		for(int i = 1;i<=n;i++)
			node[i] = x[i];
		bestn = cn;
	}
	else {//进入右子树
		x[k] = 0;//不选择当前节点 
		k++;//进入下一个节点 
	}	
	while((cn+n-k <= bestn)){//当前最好情况下没有bestn大，说明这个子树没有作用，剪枝并且要回退。 
		k--;
		while(k>0&&x[k]==0){//从右子树一路回退 
			cn--;
			k--;
		}
		//回退到可能的左子树或者是根节点 
		if(k==0)return bestn;//根节点，返回 
		x[k] = 0;//不是根节点，则不选择这个节点，进入下一个节点 
		k++;
	}		
    }	
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i = 1;i<=n;i++){
		for(int j = 1;j<=n;j++){
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	back();
	cout<<"选择的最大团为： "; 
	for(int i = 1;i<=n;i++){
		if(node[i]){
			cout<<i<<" ";
		}
	}
	cout<<endl;
	cout<<"节点个数为: "<<bestn; 
	return 0;
}

解释：
对于上一个样例可作图如下：

构造一个新样例：（样例示意图在右下角）

测试样例及测试结果

样例一：

4
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0

样例二：

5
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
0 1 1 0 1 
1 0 0 1 1
1 1 1 1 1

样例三：

5
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1

最后

以上就是心灵美发夹为你收集整理的最大团问题(使用递归和非递归两种方法)问题描述解决方法测试样例及测试结果的全部内容，希望文章能够帮你解决最大团问题(使用递归和非递归两种方法)问题描述解决方法测试样例及测试结果所遇到的程序开发问题。

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