非周期信号的频谱–傅里叶变换

1 频谱密度函数

1.1 引出

• $T\to \infty$时， $f(t)$:周期信号 $\to$非周期信号;
• 谱线间隔$\Omega =2\pi /T\to 0$，谱线幅度$\frac{\tau }{T}\to 0$，周期信号的离散频谱过渡为非周期信号的连续频谱。

注意：虽然各频率分量的幅度趋近于无穷小，但无穷小量之间仍有相对大小差别。故引入频谱密度函数，把$F_n$放大无穷大倍。

1.2 频谱密度函数

$$频率=\frac{1}{T}$$

$F(j\omega )$称为频谱密度函数，简称频谱密度或频谱（虽然简称为频谱，但也是经过放大无穷倍后的频谱）。单位频率上的频谱。

$F(jw)$与$F_n$是不在一个层次上的，$F_n$是实际频谱的强度，$F(jw)$是放大无穷倍后强度，但二者都反映了频谱的大小。

2 傅里叶变换

2.1 傅里叶变换

$F(j\omega )$ 称为$f(t)$的傅里叶变换。

$F(j\omega )$一般是复函数，写为

这里是频谱密度与$\omega$的关系，周期信号的则是实际频谱与$\Omega$的关系。

2.2 傅里叶反变换

2.3 傅里叶变换对

2.4 说明

(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数$f(t)$的傅里叶变换存在的充分条件：

(2)用下列关系还可方便计算一些积分

3 常用函数的傅里叶变换

3.1 单边指数函数

3.2 双边指数函数

3.3 门函数(矩形脉冲)

3.4 冲激函数$\delta (t)、\delta ´(t)、{\delta }^{(n)}(t)$

3.5 常数 1

有些函数(如1，$\epsilon (t)$ 等)不满足绝对可积这一充分条件，直接用定义式不易求解。可构造一函数序列{$fn(t)$}逼近$f(t)$ ，即

而$f_n(t)$满足绝对可积条件，并且{$f_n(t)$}的傅里叶变换所形成的序列{$F_n(j\omega )$}是极限收敛的。则$f(t)$的傅里叶变换$F(j\omega )$为

这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。

$e^{-\alpha |t|}，\alpha$趋于无穷，其值为1。

$F(jw)$在$\omega =0$时是无穷大，$\omega \ne 0$时是0，故$F(jw)$是一个冲激函数，通过求$[-\infty ，\infty ]$的积分可以求得其面积，为$2\pi$，而$\delta (\omega )$面积为1，故$F(j\omega )=2\pi \delta (w)$。

另一种求法： $\delta (\omega )$ 代入反变换定义式，有

3.6 符号函数

3.7 阶跃函数 $\epsilon (t)$

3.8 归纳总结

《工程信号与系统》作者：郭宝龙等
中国大学MOOC：信号与系统 ，西安电子科技大学，郭宝龙，朱娟娟

最后

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