树

1.树概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

(1) 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
(2) 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
(3) 因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既要保存值域，也要保存结点和结点之间
的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};

1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有**左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树**

2.2现实中的二叉树

2.3 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个**二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1 **，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

   完全二叉树总结: 起来就是前N-1层是满的, 最后一层可以不满, 但是必须从左到右是连续的有序树

2.4 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h - 1
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有n0＝ n2＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2(n+1) (ps： log2(n+1)是log以2为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
   (1) 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
   (2) 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
   (3) 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储
   顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
2. 链式存储
   二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，这里使用二叉链。

3. 二叉树链式结构的实现

3.0 二叉树结构定义

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

3.1 动态申请一个结点

BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{
	BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (node == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}

	node->data = x;
	node->left = node->right = NULL;

	return node;
}

3.2 前置说明

先快速创建一个二叉树, 真正创建二叉树的方法后续博客中会讲解

BTNode*CreatBinaryTree()
{
	BTNode* n1 = BuyNode(1);
	BTNode* n2 = BuyNode(2);
	BTNode* n3 = BuyNode(3);
	BTNode* n4 = BuyNode(4);
	BTNode* n5 = BuyNode(5);
	BTNode* n6 = BuyNode(6);

	n1->left = n2;
	n1->right = n4;
	n2->left = n3;
	n4->left = n5;
	n4->right = n6;
    
    return n1;
}

3.3 二叉树的遍历

3.3.1 前序、中序以及后序遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

根-左子树-右子树

1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。

左子树-根-右子树

2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。

左子树-右子树-根

3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为
根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

中序遍历和后序遍历与之类似

(1) 前序遍历

void PrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}

	printf("%d ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}

前序遍历结果：1 2 3 4 5 6

(2) 中序遍历

void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}

	InOrder(root->left);
	printf("%d ", root->data);
	InOrder(root->right);
}

中序遍历结果：3 2 1 5 4 6

(3) 后序遍历

void PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}

	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%d ", root->data);
}

后序遍历结果：3 2 5 6 4 1

3.3.2层序遍历

**层序遍历：**除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在
层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层
上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

思路: 出上一层，带下一层

借助队列的数据结构实现先进先出, 先创建并初始化一个队列, 如果该树的根结点不为空直接让该结点进队列，后当该队列不为空, 打印队首元素并删掉此结点, 让该结点的左结点和右结点入队列, 继续循环起来，最后销毁掉此队列

注意: 进入队列的数据类型存**结点的指针**, 不能存结点的数据，存结点的数据，就找不到这个二叉树了；存结点本身太大了

注意:

此代码不全，没有队列的实现，队列实现链接:

void LevelOrder(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);

	if (root)
		QueuePush(&q, root);       //存结点的指针


	//出上一层, 带下一层
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		printf("%d ", front->data);
		QueuePop(&q);              //出上一层

		//带下一层
		if (front->left)
			QueuePush(&q, front->left);     

		if (front->right)
			QueuePush(&q, front->right);
	}
	printf("n");

	QueueDestroy(&q);
}

3.4 二叉树结点的个数

思路: 递归的思想, 可以认为 二叉树结点个数 = 左子树结点个数 + 右子树结点个数 + 1 ， 其中1是当前根结点的数量

错误示例

void TreeSize1(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}

    int size = 0;    //不是同一个size
	size++;
	TreeSize1(root->left);
	TreeSize1(root->right);
}

错误原因

每递归一次创建一个函数栈帧, 每个函数栈帧中都有一个size, 不是同一个size，直接++无法求出结果

正确代码

这里更推荐法2

法1

全局变量

int size = 0;
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
	
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	else
	{
		++size;
	}

	BinaryTreeSize(root->left);
	BinaryTreeSize(root->right);
}

存在的小bug

多次调用会出现错误

法2

int TreeSize(BTNode* root)
{
	return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}

3.5 二叉树中叶子结点的个数

思路: 递归的思想, 可以认为 二叉树中叶子结点个数 = 左子树叶子结点个数 + 右子树叶子结点个数 ，当前结点为NULL返回0， 结点为叶结点时返回1

int TreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	
	if (root->left == NULL && root->right == NULL)    //是叶结点
	{
		return 1;
	}

	return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}

3.6 二叉树的高度

思路: 当该结点为NULL返回0, 否则记录下左子树和右子树的高度，最后返回 二叉树的高度 = 左右子树高度最大值 + 1, 加1是因为二叉树根结点高度是1

int TreeHeight(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}

	int leftTreeHeight = TreeHeight(root->left);
	int rightTreeHeight = TreeHeight(root->right);

	//返回左子树和右子树高度大的那个(根的高度是1)
	return leftTreeHeight > rightTreeHeight ? TreeHeight(root->left)+1 : TreeHeight(root->right)+1;
}

3.7 二叉树第k层结点的个数

思路: 相对位置的思想, 从下到上来递归如下图想求第3层结点的个数， 对于根结点来说是第3层，对于2和4两个结点来说是第2层, 对于3，NULL , 5, 6这几个结点来说是第1层, 当为第1层且不为NULL时返回1

总结: 我的第k层结点个数 = 左子树第k-1层结点个数 + 右子树第k-1层结点个数

int TreeLevelSize(BTNode* root, int k)
{
	if (root == NULL)
		return 0;

	if (k == 1)       
		return 1;

	//我的第k层 = 左子树第k-1层个数 + 右子树第k-1层个数
	return TreeLevelSize(root->left, k - 1) + TreeLevelSize(root->right, k - 1);
}

3.8 二叉树查找值为x的节点

思路: 当结点为NULL直接返回, 当结点数值为x返回该结点，然后递归查找左子树,再递归查找右子树
如果左右子树都没有找到,就返回NULL

BTNode* TreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}

	if (root->data == x)
	{
		return root;
	}

	//左子树找
	BTNode* ret1 = TreeFind(root->left, x);
	if (ret1)
		return ret1;

	//右子树找
	BTNode* ret2 = TreeFind(root->right,x);
	if (ret2)
		return ret2;

	return NULL;
}

3.9 判断是否为完全二叉树

思路: 队列+层序遍历

层序遍历此队列, 遇到非空继续让树的结点进队列, 遇到空直接跳出循环开始判断, 如果后面全为空就是完全二叉树, 不全为空则不是完全二叉树

注意:

此代码不全，没有队列的实现，队列实现链接:

bool TreeComplete(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);

	if (root)
		QueuePush(&q, root);      


	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);              

		if (front == NULL)                 //遇到到空以后, 就可以开始判断了
		{
			break;
		}
		else                               //否则继续进
		{
			QueuePush(&q, front->left);
			QueuePush(&q, front->right);
		}
	}


	//出到空以后, 如果后面全是空, 就是完全二叉树
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);

		if (front != NULL)                   //不全为空不是完全二叉树       
		{
			QueueDestroy(&q);
			return false;
		}
	}

	//如果队列带哨兵位头结点, 这里不销毁队列, 会存在内存泄露
	QueueDestroy(&q);
	return true;
}

3.10 销毁二叉树

思路: 当结点为NULL时直接返回, 否则先递归销毁左子树，再递归销毁右子树, 最后释放根结点

void TreeDestroy(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;

	TreeDestroy(root->left);
	TreeDestroy(root->right);

	free(root);
}

最后

以上就是善良河马为你收集整理的树的基本概念和链式二叉树的简单实现树的全部内容，希望文章能够帮你解决树的基本概念和链式二叉树的简单实现树所遇到的程序开发问题。

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