数学趣谈：让人纠结的等式：0.999...=1

数学趣谈：让人纠结的等式：0.999...=1

0.999... = 1 吗？此问题在国内外大大小小的网络社区里出现了无数多次，每次都能引来上百人激烈的争论，可谓是最经久不衰的老问题了。其实，在学术界里，这个问题也是出了名的争论热点。让我们来看看，数学家们都是怎么来看待这个问题的。

大卫·福斯特·华莱士（David Foster Wallace）在他的 《Everything and More》一书中介绍了另外一个著名的证明：

令 x = 0.999...

所以 10x = 9.999...

两式相减得 9x = 9

所以 x = 1

威廉·拜尔斯（William Byers）在《How Mathematicians Think》中评价这个证明：“0.999... 既可以代表把无限个分数加起来的过程，也可以代表这个过程的结果。许多学生仅仅把 0.999... 看作一个过程，但是 1 是一个数，过程怎么会等于一个数呢？这就是数学中的二义性⋯⋯他们并没有发现其实这个无限的过程可以理解成一个数。看了上面这个证明而相信等式成立的学生，可能还没有真正懂得无限小数的含义，更不用说理解这个等式的意义了。”

等比级数具有这么一个性质：如果 |r| < 1，那么

 那么我们就又有了一个快速的证明：

 这个证明最早出现在 1770 年大数学家欧拉（Leonhard Euler）的《代数的要素》（Elements of Algebra）中，不过当时他证明的是 10＝9.999... 。

之后的数学课本中渐渐出现了更为形式化的极限证明：

尽管证明越来越完备，一些人的疑惑却从来没有因此减少，总觉得0.999… 显然应该比 1 小。

最后

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