【语音信号处理】时频分析与傅里叶变换

时频分析与傅里叶变换

变换

变换是一种常用的数学工具

例如：

其中 $e_x$ 和 $e_y$ 构成标准正交基，满足如下条件：
$$\{\begin{array}{l}||e_x||=||e_y||=1\\ ⟨e_x,e_y⟩=0\end{array}$$
前面的系数表示平面中的点在这个基向量方向上有多少个单位长度。

傅里叶变换

傅里叶变换本质上也是一种标准正交变换。 在傅里叶变换中的标准正交基，是由一系列的正余弦函数构成。

傅里叶级数基本思想： 对于任何一个周期性函数，都可以用一组正余弦函数的求和来模拟出来。

直观理解：

在时域方向看，只能看到一个随时间变化的时域信号，看不到信号背后包含多少个正余弦函数；

从频域方向看，我们可以看到三个信息：

1）这个信号究竟包含哪些频率分量（正余弦函数）

2）每一个频率分量他的幅值是多少（幅度）

3）每一个频率分量的起始点（相位）。

傅里叶级数（Fourier Series）

如果 $x(t)$ 是一个周期为 $T_0$ 的周期性连续函数，则 $x(t)$ 可展开成傅里叶级数：
$$\begin{gathered} x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(jk{\Omega }_0)e^{jk{\Omega }_{0}t} \\ X(jk{\Omega }_0)=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)e^{-jk{\Omega }_{0}t}dt \end{gathered}$$
解读：${\Omega }_0=2\pi F=\frac{2\pi }{T_0}$ 傅里叶级数系数的计算，实质上是通过内积的方式，“抽取”对应频率分量的系数。例如，对于给定信号 $x(t)$，是以 $T_0$ 为周期的周期型函数，则 $x(t)$ 和标准正交基 $e^{-jk{\Omega }_{0}t}$ 做内积：
$$x(t)e^{-jk{\Omega }_{0}t}=\{\begin{array}{ll}{A}_k,& x(t)\text{中包含 }k{\Omega }_0分量\\ 0,& x(t)\text{中不包含 }k{\Omega }_0分量\end{array}$$
所以可以理解为对于频率分量 $k{\Omega }_0$，在给定信号 $x(t)$ 中，究竟有没有与 $k{\Omega }_0$ 这个频率分量相关的分量，通过这种方式把这些频率分量在原始信号中的比重提取出来。

连续傅里叶变换（Fourier Transform）

对于连续非周期信号 $x(t)$ ，可以看做是一个周期为无穷大的周期性信号，同样傅里叶变换可以表示为：
$$\begin{gathered} X(j\Omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\Omega t}dt \\ x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }X(j\Omega )e^{j\Omega t}d\Omega \end{gathered}$$
同样可以理解为通过内积的方式，提取原始信号中 $\Omega$ 分量的比重。

与傅里叶级数不同的是，由于时域信号非周期，因此频域信号中是连续谱。

离散时间傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform）

一个域离散 <=> 另一个域周期

离散非周期信号 $x(n)$ 的 DTFT 可以表示为：
$$\begin{gathered} X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n} \\ x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega \end{gathered}$$
同样可以理解为通过内积的方式，提取原始信号中 $\omega$ 分量的比重。

一般使用 $\Omega$ 表示真实的模拟频率，而使用 $\omega$ 来表示被采样频率 $F_S$ 归一化后的离散频率与数字频率。

$\omega =\frac{\Omega }{F_S}$

解读：DTFT 与傅里叶级数互为正反变换。

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）

快速傅里叶变换（FFT）就是离散傅里叶变换的一个快速算法。

离散周期信号 $x(n)$ 的 DFT 可以表示为：
$$\begin{gathered} X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi }{N}nk}=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk} \\ x(n)=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi }{N}nk}=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X(k)W_n^{-nk} \\ {W}_N=e^{-j\frac{2\pi }{N}} \end{gathered}$$
解读：DFT 只针对有限长序列或周期序列。

DFT 相当于对 DTFT 中的正变换加以采样，造成时域信号的周期性，因此时域信号应限制在一个周期内。凡是用到离散傅里叶变换的时候，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的，都隐含有周期性意义。

离散傅里叶变换的矩阵形式

Fourier 矩阵：

傅里叶变换的四种形式

总结：

• 无论是哪一种傅里叶变换，都可以用抽取的思想理解，也就是通过内积的方式，把每一个频率分量对应的比重抽取出来。

• 一个域离散 <=> 另一个域周期

离散傅里叶变换的几个问题

频谱泄漏

频谱泄漏是指由于信号截断造成的原始信号频谱扩散现象。

产生频谱泄漏的原因是对信号的截断。信号的截断相当于在原始信号 $x(n)$ 与一个窗函数 $\omega (n)$ 相乘，在频域中相当于各自频谱的卷积过程。卷积的结果造成原始信号频谱的“扩散”（或拖尾、变宽），这就是频谱泄漏。

栅栏效应

因为 DFT 计算频谱只限制在离散点上的频谱，也就是 $F_0$ 的整数倍处的谱，而无法看到连续频谱函数，这就像通过一个“栅栏”观看景象一样，只能在离散点的地方看到真实场景。这种现象称为“栅栏效应”。

减小栅栏效应的方法就是要频域抽样更密，即增加频域抽样点数，就好像距离“栅栏”的距离边远一些。在不改变时域信号的情况下，必然是在时域信号末端补零。补零后的时域数据，在频谱中的谱线更密，原来看不到的谱分量就有可能看到了。

语音信号 DFT 的共轭对称性

时域中的语音信号，经过离散傅里叶变换 DFT 后的频谱是共轭对称的。

最后

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