连续时间指数信号

连续时间复指数函数：
$$x(t)=C{e}^{at}$$
$C$ 与 $a$ 一般为复数

1 连续时间实指数信号

$C$ 与 $a$ 都是实数，则 $x(t)$ 为实指数信号

（高中知识）

2 连续时间周期复指数信号

$$\begin{gathered} x(t)=C{e}^{at} \\ a=\sigma +j\omega \end{gathered}$$

$\sigma$ 是复数 $a$ 的实部，$\omega$ 是复数 $a$ 的虚部，则根据Euler’s formula（欧拉公式）
$$\begin{gathered} e^{j\omega t}=cos(\omega t)+jsin(\omega t) \\ {e}^{-j\omega t}=cos(\omega t)-jsin(\omega t) \end{gathered}$$
则可以化为：
$$x(t)=C{e}^{at}=C{e}^{(\sigma +j\omega )t}=C{e}^{\sigma t}{e}^{j\omega t}=C{e}^{\sigma t}[cos(\omega t)+jsin(\omega t)]=C{e}^{\sigma t}cos(\omega t)+jC{e}^{\sigma t}sin(\omega t)$$
此结果表明复指数信号可以分解为实、虚两部分，实部包含余弦信号，虚部包含正弦信号

2.1 当 $a$ 是纯虚数，即 $\sigma =0$ 时

$$x(t)=e^{j{\omega }_{0}t}$$

我们知道复指数函数 $y=e^{j{\omega }_{0}t}$ 在空间中是一个螺旋前进的三维图像，它前进的方向是自变量序列 $t$ 增大的方向 $\omega$ 是旋转的速度。在右手系中，若令 $x$ 轴表示 $t$ ，$y$ 轴表示虚部，$z$ 轴表示实部，则从 $t$ 的正方向往原点看去可以发现：当 $\omega >0$ 时，图像顺时针旋转接近；当 $\omega <0$ 时，图像逆时针旋转接近。

我们使用 $Matlab$ 绘图画出复指数 $x(t)=e^{j{\omega }_{0}t}$ 的图，以便于我们直观理解

程序部分在https://blog.csdn.net/ctyqy2015301200079/article/details/83787163的基础上修改

w = 1;                      %也可以改成-1
t = 0:0.1:20;
sigma = 0;                  %这个值为sigma值，后面讨论一般复指数函数有用
f=exp((sigma + 1j*w)*t);                   
L=length(t);
x=t;                        %以该复函数自变量t作为三维图像的x轴
y=imag(f);                  %以该复函数虚部作为三维图像的y轴
z=real(f);                  %以该复函数实部作为三维图像的z轴
y_0=zeros(size(t));         %获取y=0的点集   
y_1=ones(size(t));          %获取y=1的点集
z_0=zeros(size(t));         %获取z=0的点集
z_1=ones(size(t));          %获取z=1的点集
plot3(x,y,z,'.b');          %绘制虚指数函数图像
hold on
grid on
x1=[x;x];
y1=[y;y_0];
z1=[z;z_0];
% 绘制复指数函数图像上的点对应的连线
for i=1:L                      
  plot3(x1(:,i),y1(:,i),z1(:,i),'b');  
end
% 绘制副部指数函数图像所绕的轴
plot3(x,y_0,z_0,'k');

% 绘制实部的在底面的投影图
plot3(x,y,-1*z_1,'.g');   
% 绘制实部的点对应的连线
y2=[y;y_0];
z2=[-1*z_1;-1*z_1];
for i=1:L                      
   plot3(x1(:,i),y2(:,i),z2(:,i),'g');  
end

% 绘制虚部的在后面的投影图
plot3(x,y_1,z,'.r');
% 绘制虚部的点对应的连线
y3=[y_1;y_1];
z3=[z;z_0];
for i=1:L                      
   plot3(x1(:,i),y3(:,i),z3(:,i),'r');   
end

当 $w=1$ 时：可以得到结果如图1所示，从 $t$ 正方向往原点看去，图像的确顺时针靠近

当 $w=-1$时：可以得到结果如图2所示，从 $t$ 正方向往原点看去，图像的确逆时针靠近

上图自变量 $t$ 变化范围为 $[0,20]$ ，红色为实部，绿色为虚部，复数为蓝色，我们可以看到红色为余弦函数，绿色为正弦信号，$w$ 的正负改变了虚部的符号，所以我们可以看到当 $w$ 变为 $-1$ 的时候，正弦信号反相。

我们可以很清楚的看到 $x(t)=e^{j{\omega }_{0}t}$ 是周期信号，且 $e^{j{\omega }_{0}t}$ 与 $e^{-j{\omega }_{0}t}$ 周期相同 。下面我们从数学层面去证明：

如果存在：
$$e^{j{\omega }_{0}t}=e^{j{\omega }_0(t+T)}$$
则表示 $x(t)=e^{j{\omega }_{0}t}$ 是周期信号，要使
$$e^{j{\omega }_{0}t}=e^{j{\omega }_0(t+T)}$$
就必须有：
$$e^{j{\omega }_{0}t}=e^{j{\omega }_0(t+T)}=e^{j{\omega }_{0}t}{e}^{j{\omega }_{0}T}$$
则要有
$$e^{j{\omega }_{0}T}=1$$
若 ${\omega }_0=0$ ,则 $x(t)=1$,这时对于任何 $T$ 值都是周期性的，若 ${\omega }_0\ne 0$，则有：
$$e^{j{\omega }_{0}T}=cos({\omega }_{0}T)+jsin({\omega }_{0}T)=1$$
则我们知道要使上面式子成立（高中三角函数知识）则最小正 $T$ 值，即基波周期 $T_0$ 应该为：
$$T_0=\frac{2\pi }{|{\omega }_0|}$$
可见 $e^{j{\omega }_{0}t}$ 与 $e^{-j{\omega }_{0}t}$ 周期相同。证毕。

我们可以看到基波周期 $T_0$ 是与 $|{\omega }_0|$ 成反比的，也称 ${\omega }_0$ 是基波频率（fundamental frequency）

则我们可以讨论 ${\omega }_0$ 是如何影响信号性质的：

${\omega }_0$ 与周期成反比，与振荡速率成正比（$T=1/f$）；当 ${\omega }_0=0$ 时，$x(t)$ 变为一个常数，如上面讨论的，我们可以说振荡速率为 $0$ ，振荡周期无穷大

我们计算周期复指数信号一周期的总能量和平均功率得到总能量为 $T_0$，平均功率为 $1$ 。则我们可以得出在全部时间内积分总能量就是无穷大，平均功率总为 $1$ 。也就是说周期复指数信号具有有限平均功率

3 连续时间一般复指数信号

3.1 当 $a$ 不是纯虚数，即 $\sigma \ne 0$ 时

由开头已经推导出：
$$x(t)=C{e}^{at}=C{e}^{\sigma t}cos(\omega t)+jC{e}^{\sigma t}sin(\omega t)$$
我们补充将 $C$ 用极坐标表示， $a$ 不变用笛卡尔坐标来表示，
$$\begin{gathered} C=|C|e^{j\theta } \\ a=\sigma +j\omega \end{gathered}$$
则可以进一步展开为：
$$C{e}^{at}=|C|e^{\sigma t}cos(\omega t+\theta )+j|C|e^{\sigma t}sin(\omega t+\theta )$$
则我们可以得出如下结论：

当 $\sigma =0$ 时，实部虚部都是正弦序列（正弦和余弦统称正弦信号）（等幅振荡）

当 $\sigma >0$ 时，实部与虚部是一个振幅呈指数增长的正弦信号。（增幅振荡）

当 $\sigma <0$ 时，实部与虚部是一个振幅呈指数衰减的正弦信号。（衰减振荡/阻尼正弦震荡(damped sinusoids)）

我们修改上面 $Matlab$ 代码的 sigma 变量值来观察。

当 $\sigma =0.1>0$ 时，可以看到其为增幅震荡：

当$\sigma =-0.1<0$ 时，可以看到其为衰减震荡：

参考 https://blog.csdn.net/lsywyy/article/details/96440059 代码
使用另一种方法也可以画出衰减振荡：

clc
clear
s=-0.1+1j*pi/2;
t=0:0.01:30;
f=exp(s.*t);
x=t;
y=imag(f);
z=real(f);
plot3(x,y,z,'-black');
grid on
hold on
%画轴
y_0=zeros(size(t));            %获取y=0的点集   
z_0=zeros(size(t));            %获取z=0的点集
plot3(x,y_0,z_0,'-black');

画出图如下所示：

最后 $a=\sigma +j\omega$ 中 $\sigma$ 与 $\omega$ 都等于 $0$ 的时候，变为直流信号。

最后

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