代码随想录No44 | 动态规划LeetCode198.打家劫舍 213.打家劫舍II 337.打家劫舍III

动态规划搞了快一半了，今天是打家劫舍系列！

198.打家劫舍

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。
给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

• 1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
  dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。
• 2.确定递推公式
  决定dp[i]的因素就是第i房间偷还是不偷。
  • 如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ，即：第i-1房一定是不考虑的，找出 下标i-2（包括i-2）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。
  • 如果不偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 1]，即考虑i-1房，（注意这里是考虑，并不是一定要偷i-1房）

然后dp[i]取最大值，即dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);

• 3.dp数组如何初始化
  从递推公式dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);可以看出，递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]
  从dp[i]的定义上来讲，dp[0] 一定是 nums[0]，dp[1]就是nums[0]和nums[1]的最大值即：dp[1] = max(nums[0], nums[1]);
• 4.确定遍历顺序
  dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历！
• 5. 举例推导dp数组

class Solution:
    def rob(self, nums: List[int]) -> int:
        dp = [0] * len(nums)
        # 考虑边界条件
        if len(nums) == 0: return 0
        if len(nums) == 1: return nums[0]
        # dp初始化
        dp[0] = nums[0]
        dp[1] = max(nums[0] , nums[1])
		# 从前往后依次遍历
        for i in range(2,len(nums)):
            dp[i] = max(dp[i-2] + nums[i] , dp[i-1])

        return dp[-1]

213.打家劫舍II

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都 围成一圈 ，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警 。
给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 在不触动警报装置的情况下 ，今晚能够偷窃到的最高金额。

思路：
对于一个数组，成环的话主要有如下三种情况：

• 情况一：考虑不包含首尾元素
• 情况二：考虑包含首元素，不包含尾元素
• 情况三：考虑包含尾元素，不包含首元素
  而情况二 和 情况三 都包含了情况一了，所以只考虑情况二和情况三就可以了。

class Solution:
    def rob(self, nums: List[int]) -> int:
        def robsingle(nums, start, end):
            if start == end : return nums[start]
            dp = [0] * len(nums)
            dp[start] = nums[start]
            dp[start+1] = max(nums[start] , nums[start+1])
            for i in range(start+2 , end+1):
                dp[i] = max(dp[i-2] + nums[i] , dp[i-1])

            return dp[end]

        if len(nums) == 0 : return 0
        if len(nums) == 1 : return nums[0]
        res1 = rob(nums, 0 , len(nums) - 2)
        res2 = rob(nums, 1 , len(nums) - 1)

        return max(res1, res2)

337.打家劫舍III

小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为 root 。
除了 root 之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果 两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫 ，房屋将自动报警。
给定二叉树的 root 。返回 在不触动警报的情况下 ，小偷能够盗取的最高金额 。

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
class Solution:
    def rob(self, root: Optional[TreeNode]) -> int:
        # dp数组（dp table）以及下标的含义：
        # 1. 下标为 0 记录 **不偷该节点** 所得到的的最大金钱
        # 2. 下标为 1 记录 **偷该节点** 所得到的的最大金钱
        dp = self.traversal(root)
        return max(dp)

    # 要用后序遍历, 因为要通过递归函数的返回值来做下一步计算
    def traversal(self, node):
        
        # 递归终止条件，就是遇到了空节点，那肯定是不偷的
        if not node:
            return (0, 0)

        left = self.traversal(node.left)
        right = self.traversal(node.right)

        # 不偷当前节点, 偷子节点
        val_0 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1])

        # 偷当前节点, 不偷子节点
        val_1 = node.val + left[0] + right[0]

        return (val_0, val_1)

时间复杂度：O(n)，每个节点只遍历了一次
空间复杂度：O(log n)，算上递推系统栈的空间

今天的题不算很难，第二题在初始化dp数组的时候，考虑用dp[0]、dp[1]来表示，但是索引越界，后来通过打印dp数组，模拟，发现情况三i是从3开始遍历的，而其需要的dp[2]是没有初始化的，dp[1]也不是它的前一个，也是错误初始化的，所以还得用dp[start]来表示。第三题树形动态规划，需要好好理解一下！

最后

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