2018 ICPC 南京区域赛 G - Pyramid（差分法求通项公式）

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题目大意

给出一个递推的三角形矩阵，问如果可以包含斜着放置的正三角形，当阶数为$n$时求正三角形的总个数

解题思路

明显的找规律，但是要有技巧，一开始我们找了一个多小时，在纸上画的头都大了。实际上因为三角形的堆放是有规律的，我们可以将这个三角形丢进二维坐标系跑，直接就跑出后面的四五项了。

得到递推序列后不难发现一个高阶的等差序列，可以使用差分法求它的前缀和$S_n$的公式为$\frac{n^5+10n^4+35n^3+50n^2+24n}{120}$，然后根据$S_n-S_{n-1}$即可解出通项公式，注意直接减能把头算炸，先将多项式化简，先提出一个$n$后，末项为$24$，最后的形式一定是$(x+a)(x+b)...(x+p)$，又因为此时的最高次幂为$n^4$，显然$24$分解为四个数相乘为$(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$，多项式除法试除即可。得到了$S_n=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{120}$

最后的答案是$f(n)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}$

差分法求高阶等差数列的通项公式

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// Created by Happig on 2020/9/21
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#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>

using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define ins insert
#define Vector Point
#define ENDL "n"
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define mkp(x, y) make_pair(x,y)
#define mem(a, x) memset(a,x,sizeof a);
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef pair<double, double> pdd;
const double eps = 1e-8;
const double pi = acos(-1.0);
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double dinf = 1e300;
const ll INF = 1e18;
const int Mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 2e5 + 10;

ll qkp(ll x, ll n, ll p) {
    x %= p;
    ll ans = 1;
    while (n) {
        if (n & 1) ans = ans * x % p;
        x = x * x % p;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

ll getInv(ll a, ll p) {
    return qkp(a, p - 2, p);
}

int main() {
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    ios_base::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t;
    ll n;
    cin >> t;
    ll inv = getInv(24, Mod);
    while (t--) {
        cin >> n;
        ll ans = n;
        for (int i = 1; i <= 3; i++) {
            ans = ans * (n + i) % Mod;
        }
        ans = ans * inv % Mod;
        cout << ans << ENDL;
    }
    return 0;
}

最后

以上就是魔幻康乃馨为你收集整理的2018 ICPC 南京区域赛 G - Pyramid（差分法求通项公式）的全部内容，希望文章能够帮你解决2018 ICPC 南京区域赛 G - Pyramid（差分法求通项公式）所遇到的程序开发问题。

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