前言

这道题是2018年CCPC吉林赛区的C题，是一道铜牌的dp题目。

题意

玩一个游戏，开始有一个概率$q=2\%$，然后给定概率$p\%$。每一轮游戏，获胜概率是$p\%$，如果没获胜，则$q=q+1.5\%$，继续游戏。如果获胜，则进行抽奖，抽中的概率是$q\%$，如果抽中游戏停止；如果没抽中，则$q=q+2\%$，继续游戏。求游戏进行轮数的期望。

思路

概率dp的一种常用方法是从状态机的角度去考虑。$f(i)$表示起始抽中概率是$i/100$时，轮数的期望值。下面进行分类讨论。
如果这一轮游戏获胜，则分为两种情况考虑。如果抽奖抽中了，那么游戏终止，轮数不增加，状态转移方程为$f(i)=p\ast (i/100)$；如果没抽中，那么游戏轮数加一，进入到下一个状态，转移方程为$f(i)=p\ast (1-i/100)\ast f(min(i+2,100))$
如果这一轮游戏未获胜，那么直接进入下一轮，状态转移方程为$f(i)=(1-p)\ast (1+f(min(i+1.5),100))$
状态转移方程有了之后，我们再考虑初始状态，如果一开始$q=100\%$，那么只要获胜就直接停止，所以问题转化为了一个超几何分布，期望为$1/p$。
逆序推一遍后，$f(2)$即为所求。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N = 1010;

double f[N];

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    int cas = 0;
    while(T--){
        double p;
        scanf("%lf",&p);
        p /= 100;
        f[1000] = 1 / p;
        for(int i=999;i>=2;i--){
            f[i] = p * (i / 1000.0 + (1 - i / 1000.0) * (1 + f[min(i + 20, 1000)]));
            f[i] += (1 - p) * (1 + f[min(i + 15, 1000)]);
        }
        printf("Case %d: %.10fn",++cas,f[20]);
    }
    return 0;
}

最后

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