focal loss softmax cross entropy sigmoid mse loss及其求导

$FL(p_t)=-{\alpha }_t(1-p_t{)}^{\gamma }\log (p_t),p_t=pify=1,else(1-p)$
论文中$\alpha =0.25$, $\gamma =2$时表现最好。

为什么一阶段比二阶段表现不好

1，数量上，正负样本不均衡
2，难易上，梯度被易样本主导

正负样本的定义

备选框中与ground truth的iou大于等于某个人为设定的阈值的为正样本，否则为负样本

原始的cross entropy

$CE(p_t)=-\log p_t,p_t=pify=1,else(1-p)$

解决办法

1，$-\alpha \log p_t$解决正负样本不均衡问题
原理是对正负样本取不同的权值
2，$-(1-p_t{)}^{\gamma }\log p_t$解决梯度被易样本主导问题
(1)当$p_t$很小，最小到0，$(1-p_t)$趋近于1，跟原始的cross entropy很接近，正常学习，对loss的贡献正常，是分类分得不对时的情况(misclassified)，到训练后期一般是困难样本导致的。
(2)当$p_t$很大，最大到1，$(1-p_t)$趋近于0，权值很小，对loss的贡献很少，是易样本导致的。
(3)$\gamma$作为幂进一步减少易样本对loss的贡献，因为$(1-p_t)$趋近于0，当它的幂大于0时，$(1-p_t)$更加趋近于0。
(4)$-(1-p_t{)}^{\gamma }$作为一个整体，扩大了小的loss的范围，比如当$p_t=0.9$,$\gamma =2$,$(1-0.9{)}^2=0.01$,比单纯的corss entropy的loss小了100倍。

softmax及其求导，softmax和cross entropy结合的求导

sigmoid求导

mse 求导

$p_t$的实现

用torch.where(target==1, input_, 1-input_)，其中target和input_的shape一样。

import torch


input_ = [[0.2, 0.1, 0.7],
        [0.1, 0.3, 0.6]]
target = [[0, 0, 1],
        [0, 0, 1]]

input_ = torch.tensor(input_, dtype=torch.float32)
target = torch.tensor(target, dtype=torch.float32)

pt = torch.where(target==1, input_, 1-input_)
print(pt)

output:

tensor([[0.8000, 0.9000, 0.7000],
        [0.9000, 0.7000, 0.6000]])

focal loss 实现

以下代码仅适用于图像分割的多分类场景。
图像分割是对每个像素进行分类，一张图，有h乘w个像素，一个mini-batch有n张图，
需要对n乘h乘w个像素进行分类。
多分类的交叉熵和二分类的交叉熵公式上是不同的，focal loss 只是在交叉熵的基础上增加了
类别平衡参数和专注困难样本学习这两个因素，所以二分类focal loss 和多分类的focal loss在实现上
会不同。
多分类时，alpha_t取的是各个类别频率的倒数。二分类时，正样本是alpha，负样本是1-alpha。
数据集不同，类别数和各个类别的频率也不同，需要按实际情况修改类的init函数传入的cnts值。
我的做法是，随机从训练集抽取1000个样本，统计这些样本中各个类的数目，把这些数目按顺序
填入cnts列表中。

class MyFocalLoss(nn.Module):
    def __init__(self, nbclasses, cnts=[381155699, 4830287, 861159, 440608, 37987, 4061447, 1235420, 593393], gamma=2):
        '''
        cnts: [num_class0, num_class1, ..., num_classn]
        '''
        super(MyFocalLoss, self).__init__()
        self.nbclasses = nbclasses
        cnts = np.array(cnts, dtype=np.float64)
        cnts[:] = 1./(cnts[:]/cnts.sum()) # Reciprocal of frequency
        alpha_t = torch.from_numpy(cnts).cuda()
        self.alpha_t = alpha_t # shape: nbclass
        self.gamma = gamma
    def one_hot(self, targets, nbclasses):
        """Convert an iterable of indices to one-hot encoded labels."""
        targets = targets.reshape(-1)
        return torch.eye(nbclasses)[targets]
    def forward(self, inputs, targets): # target long dtype
        # print("inputs.shape:{}, targets.shape:{}".format(inputs.shape, targets.shape)) # N 张图
        # inputs.shape:torch.Size([8, 8, 384, 1024]), targets.shape:torch.Size([8, 384, 1024])  inputs: N,nbclasses,h,w   targets: N,h,w
        loss = 0.0
        if inputs.dim() > 2:
            one_hot_targets = self.one_hot(targets, self.nbclasses).cuda() # one_hot_targets: N*h*w, nbclasses
           
            inputs = inputs.permute(0, 2, 3, 1).contiguous().view(-1, self.nbclasses).sigmoid().cuda()  # inputs n, c, h, w ==> n*h*w, c

            pt = torch.where(one_hot_targets==1, inputs, 1-inputs).cuda()

            loss = -self.alpha_t*(1-pt)**self.gamma*torch.log(pt)*one_hot_targets
        return loss.sum()/pt.size(0) # scaler

总结

1，focal loss解决了正负样本不均衡以及梯度被易样本主导的问题。
2，softmax求导当i等于j时是$p_i(1-p_i)$,不等时是$-p_i{p}_j$。
3，cross entropy和softmax结合求导结果为$p_j-y_j$，过程是链式求导，先求loss对$p_j$的导数，再将这个导数和2中求出的softmax的分情况讨论的结果结合即可。
4，sigmoid导数为$p_i(1-p_i)$，跟softmax的i等于j时的结果一样。
5，mse导数为$2(p_j-y_j)p_j+2{\sum }_i(p_i-y_i)(-p_i{p}_j)$，过程和3类似。

最后

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