动态规划

动态规划明显的优点：可以解决暴力超时的题目

动态规划可以认为是可以递推的数组，满足以下要素

1. 初始值, 如a₀, a₁（通常由最简单情况可以得到）
2. 当前值可以由历史值推断而来：a_n=a_n-1+a_n-2或者
   $$a_n=\sum _{i=1}^{n-1}{a}_i,$$（这一点最难推断得出）
3. 每个值都有某种含义，表示一个特定情况下的状态，最后的解可以由a_n或者多个a_i得出（这一点若选取不当则第2点无法得出）

实际运用时，往往先考虑第3点，根据设定的值含义推断出第2点的递推公式，然后得到第1点：取恰当的初始值。

实例，（代码并不一定是时间/空间最优化的，但是一定完整体现了DP思想）

一、70. 爬楼梯

三要素：

1. 考虑以下的状态：对于某种阶梯数n，对应一种状态：爬到楼顶的方法数，那么可以设置dp[i]：阶梯数为i时爬到楼顶的方法，1<=i<=n
2. 递推公式则为：dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]，3<=i<=n
3. 从递推公式中可以取初始值为：dp[1]=1，dp[2]=2
4. 结果就是：dp[最后一天]

代码

class Solution {
public:
	int climbStairs(int n) {
		if (n <= 2) return n; //特殊情况
		vector<int> dp(n+1,0);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; ++i)
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        return dp[n];
	}
};

二、121. 买卖股票的最佳时机

注意一个陷阱：并不一定非要完成一笔买入+卖出交易

三要素：假设输入数组为prices

1. 考虑以下的状态：对于某一天i（这里i可以取0，0<=i<=输入数组.size()-1），对应三种状态：到这天为止，未操作股票/已买入/已买入卖出，那么可以设置dp[i][0]：第i天未操作股票；dp[i][1]：第i天已买入股票；dp[i][2]：第i天已买入卖出股票，1<=i<=n
2. 递推公式则为：
   不操作股票dp[i][0] = dp[i-1][0]；
   当天买入与之前买入的比较dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i])；
   当天卖出与之前卖出的比较dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1]+prices[i]);
3. 初始值可以取：第零天：dp[0][0]=dp[0][2]=0，dp[0][1]=-1*prices[0]，这里的第零天相当于实际意义上的第一天
4. 结果就是：max(dp[某一天][0], dp[某一天][2])

代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if (prices.empty()) return 0;
        vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(3, 0));
        dp[0][1] = -1*prices[0];
        
        for (int i = 1; i < prices.size(); ++i)
        {
            dp[i][0] = dp[i-1][0];
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1] + prices[i]);
        }
        return max(dp[prices.size()-1][0], dp[prices.size()-1][2]);
    }
};

三、198. 打家劫舍

三要素：假设输入数组为nums

1. 考虑以下的状态：dp[i]：仅仅有前i间屋子，偷窃到的最高金额
2. 递推公式则为：偷这间加上隔一间之前的金额或者保持已有最大金额dp[i] = max(dp[i-2]+nums[i], dp[i-1])
3. 初始值可以取：dp[0]=nums[0], dp[1]=max(nums[1],nums[0])
4. 结果就是：dp[某一天]

代码

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        if(nums.size()==0) return 0;
        else if(nums.size()==1) return nums[0];
        else if(nums.size()==2) return max(nums[0],nums[1]);
        else
        {
            int l = nums.size();
            vector<int> dp(l);
            dp[0] = nums[0];
            dp[1] = max(nums[0],nums[1]);
            for (int i = 2; i < l; ++i) dp[i] = max(dp[i-2]+nums[i], dp[i-1]);
            return dp[l-1];
        }
    }
};

四、303. 区域和检索 - 数组不可变

三要素：假设输入数组为nums

1. 考虑以下的状态：dp[i]：nums[0]至nums[i-1]的和，dp[0]是0，dp[0]的设置目的见第4点
2. 递推公式则为：dp[i] = dp[i-1]+nums[i]
3. 初始值可以取：没有初始值
4. 结果就是：索引 i 到 j (i ≤ j) 范围内元素的总和，包含 i, j 两点：为两段和之差：dp[j+1]-dp[i]，此处dp[0]的存在意义：没有任何元素

代码

class NumArray {
private:
	vector<int> vnums;
public:
	NumArray(vector<int>& nums) {
		vnums.reserve(nums.size() + 1);
		vnums[0] = 0;
		for (int i = 1; i <= nums.size(); ++i)
			vnums[i] = vnums[i - 1] + nums[i - 1];
	}

	int sumRange(int i, int j) {
		return vnums[j + 1] - vnums[i];
	}
};

五、746. 使用最小花费爬楼梯

三要素：假设输入数组为cost

1. 考虑以下的状态：dp[i]：走到第i阶梯的最小花费
2. 递推公式则为：dp[i] = min(dp[i-2], dp[i-1]) + cost[i]
3. 初始值可以取：dp[0] = cost[0], dp[1] = cost[1]
4. 结果就是：min(dp[cost.size()-1], dp[cost.size()-2])

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        int l = cost.size();
        vector<int> dp(l);
        dp[0] = cost[0];
        dp[1] = cost[1];
        
        for (int i = 2; i < l; ++i) dp[i] = min(dp[i-1],dp[i-2]) + cost[i];
        
        return min(dp[l-1], dp[l-2]);
    }
};

六、1025. 除数博弈

三要素：假设输入值为N

1. 考虑以下的状态：dp[i]：数字是i时爱丽丝能否获胜
2. 递推公式则为：如果存在j<i, i%j==0, 且dp[i-j]==false则dp[i] = true, 否则dp[i]=false
3. 初始值可以取：dp[1] = false, 不存在dp[0] (这个是用来方便下标处理的)
4. 结果就是：dp[N]

代码

class Solution {
public:
    bool divisorGame(int N) {
        vector<bool> dp(N+1,false);
        
        for (int i = 2; i <= N; ++i)
        {
            for (int j = 1; j <= i/2; ++j)
            {
                if (i%j == 0 && !dp[i-j])
                {
                    dp[i] = true;
                    break;
                }
            }
        }
        return dp[N];
    }
};

最后

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