整数划分

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我是靠谱客的博主健壮星星，最近开发中收集的这篇文章主要介绍整数划分，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

转自 http://www.cnblogs.com/wanghetao/archive/2013/11/25/3442192.html

入

每组输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)

输出

对于输入的 n,k;
第一行：将n划分成若干正整数之和的划分数。
第二行：将n划分成k个正整数之和的划分数。
第三行：将n划分成最大数不超过k的划分数。
第四行：将n划分成若干个奇正整数之和的划分数。
第五行：将n划分成若干不同整数之和的划分数。
第六行：打印一个空行

样例输入

5 2

样例输出

提示

样例输出提示:
1.将5划分成若干正整数之和的划分为： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
2.将5划分成2个正整数之和的划分为： 3+2, 4+1
3.将5划分成最大数不超过2的划分为： 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+2
4.将5划分成若干奇正整数之和的划分为： 5, 1+1+3, 1+1+1+1+1
5.将5划分成若干不同整数之和的划分为： 5, 1+4, 2+3

下面是我根据网上的资料, 写出自己的分析和实现过程.

分析:

本题使用动态规划（Dynamic Programming）方法解决

一求将n划分为若干正整数之和的划分数

1. 若划分的多个整数可以相同

　　设dp[i][j]为将i划分为不大于j的划分数

　　(1) 当i<j 时，i不能划分为大于i的数，所以dp[i][j]=dp[i][i]；

　　(2) 当i>j 时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。若划分中含有j，划分方案数为dp[i-j][j]；若划分数中不含j，相当于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]；

　　(3) 当i=j 时，若划分中含有j只有一种情况，若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]。

dp[n][n]可以解决问题1，dp[n][k]表示将n划分为最大数不超过k的划分数，可以解决问题3。

2. 若划分的正整数必须不同

　　设dp[i][j]为将i划分为不超过j的不同整数的划分数

　　(1) 当i<j时，i不能划分为大于i的数，所以dp[i][j]=dp[i][i]；

　　(2) 当i>j时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。若划分中含有j，则其余的划分中最大只能是j-1，方案数为dp[i-j][j-1]；若划分中不含j，相当于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i][j-1]；

　　(3) 当i=j时，若划分中含有j只有一种情况，若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]

dp[n][n]表示将n划分为不同整数的划分数，可以解决问题5.

二将n划分为k个整数的划分数

设dp[i][j]为将i划分为j个整数的划分数。

　　(1) i<j为不可能出现的情况，dp[i][j]=0；

　　(2) 若i=j，有一种情况：i可以划分为i个1之和，dp[i][j]=1；

　　(3) 若i>j，可以根据划分数中是否含有1分为两类：若划分数中含有1，可以使用“截边法”将j个划分分别截去一个1，把问题转化为i-j的j-1个划分数，为dp[i-j][j-1]；若划分中不包含1，使用“截边法”将j个划分数的最下面一个数截去，将为题转化为求i-j的j个划分数，为dp[i-j][j]。所以i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i-j][j]。

dp[n][k]为将n划分为k个整数的划分数，可解决问题2。

三将n划分为若干正奇数之和的划分数

设f[i][j]为将i划分为j个奇数之和的划分数，g[i][j]为将i划分为j个偶数之和的划分数。

使用截边法，将g[i][j]的j个划分都去掉1，可以得到f[i-j][j]，所以

g[i][j] = f[i-j][j]。

f[i][j]中有包含1的划分方案和不包含1的划分方案。对于包含1的划分方案，可以将1的划分除去，转化为“将i-1划分为j-1个奇数之和的划分数”，即f[i-1][j-1]；对于不包含1的划分方案，可以使用截边法对j个划分每一个都去掉一个1，转化为“将i-j划分为j个偶数之和的划分数”，即g[i-j][j]。