从一元一次方程到伽罗瓦理论_一元二次方程知识点解析和题型汇总

E=MC2是爱因斯坦留给人类的伟大贡献，也是人类历史上最伟大的十大公式之一，她揭示了物质的两个属性，物质的质量和能量之间的本质关系，是近代物理的理论基础，而我们即将学习的一元二次方程则是初中数学代数的一个基本理论基础。

之前的文章中我们学习过一元一次方程（打开文章，请点击：【专题】解析一元一次方程的知识点以及应用），那么一元二次方程是什么样子的呢？

一元二次方程的基本内容

现有一个长方形宽为x米，长比宽的2倍少3米，那么当面积为10平方米时宽是多少？

根据长方形的面积公式我们能够得到：（2x-3)·x=10，化简后，2x^2-3x-10=0。在数学中，我们把这类式子叫做“一元二次方程”。

1、方程满足的条件

●（1）等号两边都是整式

●（2）只含有一个未知数

●（3）未知数的最高次数是2的方程

2、方程的形式

一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，
特征：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项。

3、方程的性质

（1）一元二次方程根的判别式：当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式。

当Δ>0 <=> 有两个不等的实根;

当Δ=0 <=> 有两个相等的实根;

当Δ<0 <=> 无实根。

注意：当Δ≥0 <=> 有两个实根，需要根据题目要求，验证这两个实根是否相等。

（2）方程的两根与方程系数的关系：x1+x2= -b/a，x1·x2=c/a，方程两根为x1，x2时，方程为：x2+(x1+x2)X+x1x2=0。

一元二次方程的应用

01、方程解法

一元二次方程的解是以降次为目的，以求解方法为主要手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解。一元二次方程的一般解法有以下几种：

解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外），但必须熟练掌握。解一元二次方程选择方法的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法。

02、根的判别式

利用一元二次方程根的判别式，确定方程字母系数的值时候，要注意二次项系数不为零这个隐含条件。主要考察内容：

（1）不解方程，应用根的判别式，判断一元二次方程根的情况

（2）已知方程中根的情况，如何由判别式逆推参数的取值范围

（3）分类讨论：如果方程没有支出二次方程和根的情况，一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程可能是一元一次方程，如果二次项系数不为0，一元二次方程可能有两个相等或不相等的实数根以及无实数根。

（4）一元二次方程根的判别式与整数解的综合

03、实际问题

列一元二次方程解实际应用的步骤：

审：审题目，分清已知量、未知量、等量关系

设：设未知数，有时会用未知数表示相关的量

列：根据题目中的等量关系，列出方程

解：解方程，注意分式方程需要检验，将所求量表示清晰

验：检验方程的解是否满足题目条件，注意要使其实际问题有意义答：写出答案，切忌答非所问

三类常见问题：

01、增长率的等量关系

增长率=（正常量/基础量）*100%

设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a（1+m）n=b。当m为平均下降量时，n为下降次数，b为下降后的量，则有a（1-m）n=b。

02、利润的等量关系

利润=售价-成本

利润率=（利润/成本）*100%

这类题的难点就在于同学不清楚价格变化和销售量变化之间的关系，不管你运用哪种解题方法，能够清晰解析出题目的各个变量之间的关系，才是重中之重。

03、几何问题等量关系

这类问题主要根据几何图形的性质、特征、定理或公式等来寻找等量关系，常与三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧。

一元二次方程是初中数学的中药基础知识，也是考试中的热门考点。

它的解法灵活多样，解题中考虑的因素也较多，要想准确、快速的突破该点，必须对其限定条件考虑周全，多多练习！

例题演练