递归式（第四章）

主定理：
设a>=1和b>1位常数，设f(n)为一个函数，T(n)由递归式 T(n)=aT(n/b)+f(n) 对非负整数定义，其中n/b指n/b向下或者向上取整。
那么T(n)可能有如下的渐进界：
若对于某常数 ε>0,有f(n)=O(n^logb(a-ε)) 则T(n)=Θ(n^logba);
若f(n)=Θ(n^{logba),则T(n)=Θ（(n}logba)*lgn);
若对于某常数 ε>0,有f(n)=Ω(n^logb(a+ε)) ,对常数c<1与所有足够大的n,有af(n/b)<=cf(n),则T(n)=Θ(f(n)).

递归树中每个节点都代表递归函数调用集合中一个子问题的代价。每一层的代价之和相加之后是总代价。递归树最适合用来产生猜测，然后用代换法加以验证。
子问题的大小将会随着离树根越来越远而变得越来越小，最终到达一个边界条件。

用代换法（用所猜测的值代替函数的解）解递归式需要两个步骤：
猜测解的形式
用数学归纳法找出使解真正有效的常数
代换法能够用来确定一个递归式的上界或下界。

猜测法：
试探法，找类似解
先证明递归的较大范围的上下界，然后缩小不确定性

注意：
有的时候我们能够猜出递归解的渐进界，但是却会在归纳证明的时候出现一点问题，通常问题出在归纳假设不够强，无法确定其准确的渐进界。遇到这种情况的解法是：去掉一个低阶项来修改所猜测的界，以顺利进行。
避免没有证明归纳假设的正确性而直接的证明最后的结果
解答的过程中应该善于用改变变量的方式解熟悉的递归式，简化运算。

最后

以上就是曾经刺猬为你收集整理的递归式（第四章）的全部内容，希望文章能够帮你解决递归式（第四章）所遇到的程序开发问题。

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