算法基础: 牛顿迭代法

算法基础: 牛顿迭代法

序言:
本文记录用牛顿迭代法求高阶方程的解。

0. 概述
给定函数 $f(x)$, 则 $f(x)=0$ 的解可以通过牛顿迭代法逼近。本文只记录方法，不深究原理。迭代步骤如下:

1. 取 $f(x)$ 上一点 $x_n$ 作为迭代起点。
2. 以 $x_n$ 作 $f(x)$ 的切线，交 $x$ 轴于 $x_{n+1}$
3. 重复步骤 1，2, 直到 $f(x)-0<ϵ$

1. $x$ 的平方根(LintCode 69)
问题描述：实现 int sqrt(int x) 函数，计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。
由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

求解 $t=\sqrt{x}$ 等价于 $t^2-x=0$。命 $f(t)=t^2-x$, 其零点即为所求。
设迭代起点为 $t_0$， 则 $f(t)$ 过 $t_0$ 的切线 $f^{\prime }(t_0)(t-t_0)=y-f(t_0)$，其交 $x$ 轴于
$$t_1=(t_0+\frac{x}{t_0})/2$$
继续对 $t_1$ 进行迭代，直到某个 $t_n$ 满足 $t_n^2\le x$ 且 $(t_n+1{)}^2>x$ 即可

• C++ 实现

class Solution {
public:
int mySqrt(long x) {
if (x == 0) return 0;
long t = x; // t: 迭代变量，初始化为 x
while(true){
t = (t + x / t) / 2;
if (t * t <= x && (t + 1) * (t + 1) > x)
return t;
}
return -1;
}
};

2. $x$ 的立方根
问题描述：计算并返回 x 的立方根, 误差不大于10e-9。

求解 $t=\sqrt[3]{x}$ 等价于 $t^3-x=0$。命 $f(t)=t^3-x$, 其零点即为所求。
设迭代起点为 $t_0$， 则 $f(t)$ 过 $t_0$ 的切线 $f^{\prime }(t_0)(t-t_0)=y-f(t_0)$，其交 $x$ 轴于
$$t_1=(2t_0+\frac{x}{t_0^2})/3$$
继续对 $t_1$ 进行迭代，直到某个 $t_n$ 满足 $|t_n^3-x|\le 10^{-9}$

• C++ 实现

#include <iostream>
using namespace std;
const double eps = 10e-9;
class Solution {
public:
double myCbrt(double x) {
if (x == 0) return 0;
double t = x; // t: 迭代变量，初始化为 x
while(t * t * t - x >= eps || t * t * t - x <= -eps) {
t = (2 * t + x / t / t) / 3;
cout << t << endl; // 打印迭代变量
}
return t;
}
};
int main() {
Solution s;
cout << s.myCbrt(-100) << endl;
return 0;
}

???
ajaxlt的GitHub入口: https://github.com/ajaxlt/OnlineProgram
???

最后

以上就是独特小虾米为你收集整理的算法基础: 牛顿迭代法的全部内容，希望文章能够帮你解决算法基础: 牛顿迭代法所遇到的程序开发问题。

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