极坐标计算重积分交换积分次序

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我是靠谱客的博主彩色小懒虫，最近开发中收集的这篇文章主要介绍极坐标计算重积分交换积分次序，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

1.极坐标计算重积分交换积分次序

2.1.类直角坐标法

将极坐标 $(θ, ρ)$ 看做类似直角坐标 $(x, y)$ 的情况，将 $θ$ 看做横坐标，讲 $ρ$ 看做纵轴，画出 $(θ, ρ)$ 的直角坐标图和积分区域图形，然后像直角坐标下交换积分次序那样交换 $θ, ρ$ 的积分次序

例一：在极坐标下交换积分次序： $I=int_{-frac{pi}{4}}^{frac{pi}{2}} d theta int_{0}^{2 cos theta} f(r cos theta, r sin theta) r d r$

解析：方法一：以 $θ$ 为横轴， $r$ 为纵轴，画出积分区域的几何图形

积分区域 $D : − π 4 ≤ θ ≤ π 2 , 0 ≤ r ≤ 2 cos ⁡ θ D:-frac{pi}{4} leq theta leq frac{pi}{2}, 0 leq r leq 2 cos theta$ ，将 $D$ 分成两部分： $D_{1}, D_{2}$ 。其中 $D_{1}: 0 leq r leq sqrt{2},-frac{pi}{4} leq theta leq arccos frac{r}{2}$ ，其中 $θ ≤ arccos ⁡ r 2 theta leq arccos frac{r}{2}$ 是根据 $r ≤ 2 cos ⁡ θ ⇒ cos ⁡ θ ≥ r 2 r leq 2 cos theta Rightarrow cos theta geq frac{r}{2}$ $⇒ θ ≤ arccos ⁡ r 2 Rightarrow theta leq arccos frac{r}{2}$ 得到。

$D_{2}: sqrt{2}<r leq 2,-arccos frac{r}{2} leq theta leq arccos frac{r}{2}$ ，其中 $− arccos ⁡ r 2 ≤ θ ≤ arccos ⁡ r 2 -arccos frac{r}{2} leq theta leq arccos frac{r}{2}$ 是根据 $r ≤ 2 cos ⁡ θ , cos ⁡ θ ≥ r 2 , − arccos ⁡ r 2 ≤ θ ≤ arccos ⁡ r 2 r leq 2 cos theta, cos theta geq frac{r}{2},-arccos frac{r}{2} leq theta leq arccos frac{r}{2}$ 得到，从图形上看， $θ$ 是从左边曲线 $θ = − arccos ⁡ r 2 theta=-arccos frac{r}{2}$ 变到右边曲线 $θ = arccos ⁡ r 2 theta=arccos frac{r}{2}$

根据上面积分区域的划分可得：

$I=iint_{D} f(operatorname{rcos} theta, operatorname{rsin} theta) r d r d theta=iint_{D} f(operatorname{rcos} theta, operatorname{rsin} theta) r d r d theta+iint_{D} f(operatorname{rcos} theta, r sin theta) r d r d theta= \ =int_{0}^{sqrt{2}} d r int_{-frac{pi}{4}}^{arccos frac{r}{2}} f(operatorname{rcos} theta, operatorname{rsin} theta) r d theta+int_{sqrt{2}}^{2} d r int_{-arccos frac{r}{2}}^{ arccos frac{r}{2}} f(operatorname{rcos} theta, operatorname{rsin} theta) r d theta end{array}$

2.2.极坐标常数穿越法

若先积 $θ$ (内层积分)，后积 $ρ$ (外层积分)，则先确定 $ρ$ 的取值范围（上下限），然后用 $ρ =$ 常数穿过区域 $D$ ,将 $D$ 划分为两个子区域 $D_1$ 和 $D_2$ .

当 $0 \leq r \leq 2$ 时，圆弧 $r =$ 常数从 $θ = − π 4 theta=-frac{pi}{4}$ 进入区域 $D$ ,从 $r = 2 cos θ (θ > 0)$ (即 $θ = arccos ⁡ r 2 theta=arccos frac{r}{2}$ )穿出区域 $D$

当 $2 \leq r \leq 2$ 时，圆弧 $r =$ 常数从 $r = 2 cos θ (θ < 0)$ ，即 $θ = − arccos ⁡ r 2 theta=-arccos frac{r}{2}$ 进入区域 $D$ ,从 $r = 2 cos θ (θ > 0)$ (即 $θ = arccos ⁡ r 2 theta=arccos frac{r}{2}$ )穿出区域 $D$

因此

$int_{-frac{pi}{4}}^{frac{pi}{2}} mathrm{d} theta int_{0}^{2 cos theta} r f(r, theta) mathrm{d} r=int_{0}^{sqrt{2}} mathrm{d} r int_{-frac{pi}{4}}^{arccos frac{r}{2}} r f(r, theta) mathrm{d} theta+int_{sqrt{2}}^{2} mathrm{d} r int_{-arccos frac{r}{2}}^{arccos frac{r}{2}} r f(r, theta) mathrm{d} theta$